(2)の2行目の意味がわかりません

914 130 232 × 基本 例題 145 定積分と不等式の証明 (1) 00000 (1) OSSI のとき,不等式が成り立つことを示せ。 0≦x≦1 1+x4 <1 を示せ。 (1 dx (2)不等式 % 9157 CHART & SOLUTION [類 静岡大 ] ③ p. 230 基本事項 2 (2)これまで学んできた知識では Soxdv の計算ができない。そこで 1+x4 f(x)≧g(x) ならばff(x)dx≧g(x)dx (1)の結果に適用する。 基本 例題 n2とする CHART & 定積分と不 数列の和 14 (等号は、常にf(x)=g(x)のときに成り立つ) → 解答 (1) 0≦x≦1のとき 分子そろひかるか (1+x2)-(1+x4)=x2(1-x2)0 定積分の の下側の 証明でき よって 1+x21+x40 (2) (1) から, 0≦x≦1のとき ゆえに50のとき x2≧0, 1-x2≧0 解答 1 1 S. 1+x2 1+x4 自然数んに ・≦1 常には 1+x2 1+tan20 ゆえに cos' 1 ただし, 0<x<1のとき ① の等号は成り立たない。 dx 1+x2 Jo1+x4 よってSS fodx dx [=S14x において, x=tan0 とおくと dx 1+x2 11 xと0の対応は右のようにとれる。 1 ② ==[0]*=* ← -S小<St ゆえに 等号は成り立たない。 1 ・にはx=atane x²+a² k=1, 2, 2=cos20, dx=- do x 0 → 1 COS2 if 本間では, (1) が(2) の π 0 0 → 4 coseg do 0 = St* do = [0] *² = ヒントになっている (2) の みが出題された場合は ここで π 4 (800 x | f(x)≤x≤g(x) #n また Sdx = [x]=1 1+x4 (x)dx ゆえに Sjøtxiá よって これらを②に代入すると<1 =1 を満たす f(x) g(x) を見つける必要がある。 両辺に PRACTICE 145º 1 (1)定積分 √√1-x2 dxの値を求めよ。 (2) nを2以上の自然数とするとき,次の不等式が成り立つことを示せ。 dx≤ PRA 不等

この問題で、分母を因数分解して、それぞれの因数は分子の約数となるnを求めているのですが、どのように考えたらこと発想に至りますか？それぞれの因数が約数になるようにするというのが思いつきませんでした。

21 3n² + 174n+ 231 f(n)= n2+3n+2 が整数となるような自然数nをすべて求めよ。 ( 上智大 改 ) « ReAction (分子の次数)≧(分母の次数) の分数式は,除法で分子の次数を下げよ 例題 17 165n+225 整数 (1) 21日 (2) L (3) f(n) =3+ が整数 (n+1)(n+2) 候補を絞り込む 53- C [AはCの約数 が整数 ともに満たすnの値を求める。 AB BはCの約数 このnに対して必ずしも が整数になるとは限らないから, f(n) に代入して確かめる。 16 4×8 16 のときは16の約数で8は16の約数だが (整数でない) 4×8 165n+225 165n+225 f(n)=3+ =3+ n² + 3n+2 (n+1)(n+2) よって,f(n) が整数となるとき 165n+225 (n+1)(n+2) まず f (n) を帯分数式化 する。 も整数と なる。 このとき,n+1は165m +225の約数であるから 3 n²+3n+2) 3n² + 174n+231 3m² + + 6 165n+225 大学 思考プロセス → 165n+225=k (n+1) (kは整数) とおくと kn+k-165n=225 より (k-165)(n+1) = 60 nは自然数より,n+1は2以上の自然数であるから n+1=2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 よって +(k-165)(n+1) n=1,2,3,4,5, 9, 11, 14, 19, 29, 59 ① また,n+2は165 +225 の約数であるから81)=(3+3 +dp =225-165 +1は60の約数である。 (な である そのとり In+2l-165n= 225 より (Z-165)(n+2) = -105+d(8(Z-165)(n+2)り込む。 165n+225= l(n+2) (Iは整数) とおくと +2は3以上の自然数であるから n+2=3,5,7, 15, 21, 35, 105 01-=(814 =225-330 n+2は105の約数である。 よって n=1, 3, 5, 13, 19, 33, 103 ...S ①,②をともに満たすnは 逆に n=1,3,5,19 f(1) = 68, f(3) = 39, f(5) = 28, f(19)=11日①,②をともに満たす したがって n=1, 3, 5, 19 について, f (n) が整数 となるか確認する。 生

以下では、〜の後からがよくわかりません 解説お願いします🙇‍♀️

Drvanz 演習 例題 121 極値をとる値に関する無限級数の和 関数f(x) =ex sinx (x>0)について, f(x) が極大値をとるxの値を小さい方 から順に X1,X2, 00 また, f(x) を求めよ。 n=1 とすると, 数列{f(x)} は等比数列であることを示せ。 基本 112 極大値をとるxの値は,次のことを利用して求めるとよい。 f'(a)=0,f"(a)<0f(a)は極大値(p.177 基本事項) 指針 n=1 つまり、f'(x)=0の解を求め、その解のうちf" (x) < 0) を満たすものをxとする。 また、無限等比級数 Zarm-l (a≠0) は|r|<1のとき収束し,和は a 1-r 207 解答 さ f(x)=-e*sinx+e*cosx=-e*(sinx-cosx) =-√2e *sin(x-4) f"(x)=e-*(sinx-cosx)−ex(cosx+sinx) =-2xcosx f'(x) =0 とすると ...... TRAH 1 y=ex X2 OX1π 2π 3π 4π -1- y=-ex sin(x-4)=0 (*) 20 ( π (*)からx= =kπ x>0であるから x= +kл (k=0, 1, ...) 4 1)" 以下では,n は自然数とする。 k=2n-1のとき cos(+)<O OP k=2(n-1)のとき cos (+) (+) ゆえに,k=2(n-1) のとき極大値をとるから •ƒ(+kx)>0. 0 18001 xn= COST +2(n-1)π π 4 このとき == f(x)=e-14+2(n-1rl sin{4+2(n-1)x=1/2e-f(e-2001 18 よって、f(x)は初項 /ef,公比 e-"の等比数列で ある。公比e-2 は 0<e-2<1であるから、無限等比級数 分 Σ n=1 f(x)は収束し、その和は etx 00 Σ n=1 2 f(x)=√1-0 e -2π √√2 (e-1) ( は整数) YA +(2n-1)π1 4 π 0 -1 1 10 ++ 4+ -1 +2(n-1)л 4 4章 17 1 関連発展問題 ◄an=ar"-1 ⇒ {an}は初項a, 公 比rの等比数列。 さいか]

解説にあるlog10底の10の－1乗は－1になっちゃうから0.1にはならない気がします。なんでこの解法で解けるのか教えてください

371 不等式 0.95" < 0.1 を満たす最小の自然数n を求めよ。 ただし, 10g109.5 = 0.9777 とする。

この問題の途中式を教えてください お願いします🤲

y3g 問310x 十の位の数が一の位の数の3倍である2けたの自然数Aがある。 この自然数 A の十の位の 数と一の位の数を入れかえてできる自然数Bは自 然 数 自 Aよりも36小さくなる。このとき, 然数 A はいくつか, 連立方程式をつくって求めなさい。 94 9x 10y-yxc-10x=-36

数学の平方根の問題です。なぜ、この問題は素因数分解をしないといけないんですか。そして、素因数分解したあともよく分かりません。教えてください。

=100 100 540 (2) の値が整数となるような自然数n n は、全部で何通りあるか求めなさい。 (埼玉) 540を素因数分解すると、 540=2x3x5 540 n の値が整数となるのは、 540 根号の中の数 が (整数)になるときで、 n 2'3'、 (2×3)と1の4通りあります。 よって、 n の値も4通りあります。 (n=3×52×3×5、 3×5、 2x3x5) 根号の中の数が1になるときを 見落としている場合が多いよ! 4 通り 53

(1)の(イ)の問題です 模範解答にある「この計算結果の下位5桁は、第2項を除いても変わらない。」という文はどういう意味なのか教えてほしいです🙇🏻‍♀️

11 重要 例題 6η桁の数の決定と二項定理 (1) 次の数の下位5桁を求めよ。 (ア) 101100 (2) 2951900で割ったときの余りを求めよ。 (イ)99100 00000 自 [類 お茶の水大] 基本1 指針 (1)これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり,また,それ を要求されてもいない。 そこで,次のように 二項定理を利用すると,必要とされ る下位5桁を求めることができる。 1 章 1章 3次式の展開と因数分解、 二項定理 解答 (ア) 101100 = (1+100)100 (1+102)100 これを二項定理により展開し,各項に含ま れる 10" (nは自然数) に着目して、下位5桁に関係のある範囲を調べる。 (イ) 99100=(-1+100)'= (-1+102) 100 として, (1) と同様に考える。 (2)(割られる数)=(割る数)×(商)+(余り) であるから, 2951 を900で割ったと きの商をM, 余りを とすると,等式 2951 900M+r (Mは整数,0≦x<900)が成 り立つ。 295130-1) 51 であるから,二項定理を利用して (301) を 900M+r の形に変形すればよい。 (1) (ア) 101100(1+100)'=(1+102) 100 +(x=1+100C1 × 102+100C2×10+10°×N展開式の第4項以下をま 3=1+10000+495×10+10°×N とめて表した。 (Nは自然数) 0.8=f=& この計算結果の下位5桁は,第3項 第4項を除いて も変わらない。 B 10001 よって、下位5桁は |___(1) 99100=(−1+100)¹00=(−1+10²)¹00 US✰ACHS =1-100C1×102+100C2×10+10°×MS =1-10000+49500000 +10°×M れる=49490001 + 10°×M (Mは自然数) この計算結果の下位5桁は,第2項を除いても変わら ない。 よって、下位5桁は90001 10"×N (N, n は自然数 n≧5) の項は下位5桁の 計算では影響がない。 = ÉLOI 展開式の第4項以下をま めた。なお,99100 は 100 桁を超える非常に大 きい自然数である。 2 [E]-[1] (2) 2951=(30-1)51900-30² J =3051-51C1×3050+-51C49×302+5150×30-1(-1)'は =302(304-51C1x3048+. ･･･-51C49) +51×30-1 =900(3049-51C1×304+••••••- ･･-51C49) +1529 ==900(304-51C1×304+-51C49+1)+629p ここで, 3049-51C1 ×3048 + 51C49+1 は整数である から, 2951 を900で割った余りは 629 である。 rが奇数のとき -1 が偶数のとき 1 1529=900+629. Sp)+pE=A [ɛ] ABO [Sp

区分求積 なぜk/n＝xと置くのですか？

(38) 自然数絡みで無限に足していくのかー→極限に飛ばすのか→→区分求積か = = lim( I 1 + htt ht2 haas = tim = (4 n n nez ntn lim 1 1 + 2 + n Tim I n& h 70-4 te n 無理やりんでくくる htn 分母分子を ) れで割る n 〃 So 1+x dx = [ log (1+x)] = 40g2 xなんで入って おいたの?

数Bの数学的帰納法についての問題です。 カッコ1のn=k+1のときの式変形の仕方とかっこ2でおこなっていることの仕組みがよくわかりません。 教えてくいただけると嬉しいです。

00-0 25とし 指定する。 2k+1_ ← Nが13の倍数 ⇔N=13m(m は整数) と表される。 es である すなわち よって、n= から、 上から TEA A すべての 2 = 2x2k+3) (k+1)(k+1)+1}{2(k+1)+1} よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 31 (1) すべての自然数nについて, 次の事柄を証明すればよい。 「42n+1 +3 +2は13の倍数である」 ① [1] n=1のとき 42n+1+3n+2=43+33=64 +27=91=13.7 よって, ①は成り立つ。 [2] n=kのとき,①が成り立つと仮定すると,を整数として 42k+1+3k+2=13m と表される。 n=k+1のときを考えると 42(k+1) +1 +3(k+1)+2=16.42k+1+3.3k+2 =16.42k+1+3(13m-42k+1) =13(42k+1+3m) 42k +1 +3m は整数であるから, 42(k+1) +1 +3(k+1)+2は13の倍数とな り, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2) 42n+1+3+2 =4.42n+32.3"=4・16"+9.3. =4(13+3)"+9・3" =4(13"+C,13"-1.3+ C213″-2.32 + + Cm_13.3"-1+3") +9.3" n =4.13(13"-1+„C,13″-2.3+„ C213″-3.32 + +„C_13"-1) +4.3" + 9.3" n "--1-3-1 =4.13(13"-1+C,13″-2.3 + C213″-3.32 +... + Cm_3"-1)+13.3" よって, 42 +1 +3 +2 は13の倍数である。 42" =3" (mod 13)+ +-+- 参考 [合同式を利用 ] 163 (mod13) であるから よって 42m+1=4.3" (mod13) この両辺に3"+2=9.3" を加えると 41n+24.QnQ.2"=13.3"=0 (mod13) sty=p である」 =1 11=2 み+ とか 11= =k ( )内は整数 08 仮定 数て (式) よ

1番右の画像のように解いてはいけないのでしょうか？🙏 また、ダメな場合は理由を教えていただきたいです！ お願いいたします🙇‍♀️

nを自然数, iを虚数単位として, (cos O+isine)" =cos no+isin no が成り立つことを示せ.