3 漸化式と数学的帰納法
(577)
B1-10
例題 B1.59 数学的帰納法 (2) 不等式の証明
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が2以上の自然数のとき, 1+
1 1
+
22
+
つことを数学的帰納法で証明せよ。
32
<2
n
<2が成り立
n1
第8
考え方 2 以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい。
(I) n=2のとき, 不等式が成り立つことを示す.
Ikk≧2) のとき,不等式が成り立つと仮定し、これを用いて, n=k+1 のと
きも成り立つことを示す.
1 1
1+2+32
(I) n=2のとき,
+
......① とおく.
n
1_5
(左辺) =1+-
3
(右辺)2
22 4'
2 2
より, (左辺) く (右辺) となり, n=2のとき①は成り立つ.
(II)=k(k≧2) のとき, ①が成り立つと仮定すると,
1
=k+1 のとき,
は2以上の自然数
1+2+32
+
+ <2-
k²
.(*)
k
1
10
<2-
何を示すかを明記す
(k+1)2
k+1
1 11
1+ + + + +
22 32
12
k²
が成り立つことを示す.
(右辺) (左辺)
る.
分子それぞ
(右辺) (左辺) > 0
を示せばよい。
1
1 1
1
1
2
1+ + +
+
k+1
22
32
k²
(k+1)2]
1
>2-
2 +
k+1
k (k+1)2]
(*) の仮定を利用す
るが,不等号の向き
に注意する.
1
ならば,
>0
k(k+1)-
(I), (II)より2以上のすべての自然数nについて ①は成り
したがって、(右辺) (左辺) > 0 となり, n=k+1の
ときも①は成り立つ。
んは2以上の自然数
だから, k(k+1)
よって、
立つ、
k(k+1)^-
ocus
数学的帰納法の証明
(スタート), 何を示すべきか (ゴール) を明確に
