例題 112 接線に関する軌跡
京交の財S
|メ放物線 y=x° 上の異なる2点P(p, が), Q(q, q') における接線をそれぞれ,
とし、その交点をRとする。liと Lっが直交するように2点P, Qが動くとき,
点Rの軌跡を求めよ。
[類 名城大)
一例題108
えない。しかし
E 6. l,の方程式から交点Rの座標(x, y) を求めると,x とyはともにか, qの式で表される。
したがって,方針は
つなぎの文字 p, qを消去する
3章
そこで用いるのは
2直線が垂直 -→(傾きの積)=-1
18
3
交園 x軸に垂直な接線は考えられないから,liの傾きを m\bre
4
とすると,その方程式は
ソーが=m(x-p)すなわち y=m(x-p)+が
これと y=x° を連立して
整理すると
この2次方程式が重解をもつから,判別式をDとすると「花2
D=(-m)-4(mp-が)=m?-4mp+4が=(m-2p)
P(b, が) Qg, g°)
x=m(x-p)+が
l2
0
か
x
x°-mx+mp-が=0
R
円
(m-2か)?=0
l
D=0 から
2
よって
m=2p
したがって,Gの方程式は
ソ=2p(x-p)+が すなわち y=2px-が
同様にして,l2の方程式は
交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式①, ② の解である。
yを消去して整理すると
AS
式水
ソ=2qx-q°
40でかをqに
おき換える。
2(p-q)x=(p+q)(カーq)。
その
を 参考 左の答案は
今までに学習した
知識のみを用いて
接線の方程式を求
めているが,後で
学習する微分法を
用いると,より簡
単に求めることが
できる(第6章微
3 の解である。分法を参照)。
pキq であるから
x=
これをDに代入して
ソ=2か259-が=Dミ大きこ
2
次調
S iLle から
2か2q=-1
0
よって
ソ= bq=-- ずれさ
存在しなく
めている。
4
また,か, qは2次方程式 -2xt-ー=0
3の判別式をD'とすると
D'
1
x2+
4
よって
D'>0
4
ゆえに, 任意のxに対して実数か, q(カキg)が存在する。
逆の確認。
するす
したがって, 求める軌跡は
1
直線 y=ー
4
GOL
軌跡と方程式一
