Question

IK

この問題の記述の仕方について質問です
自分はまず、l1、l2の方程式を求める時に、直交するということを含んで考えて、わけわかんなくなっちゃったのですが、この問題はl1、l2の方程式を求め、交点(x、y)を求め、直交条件を使っています。

このように、どの条件をどの順番で使うのか、という決まりとかはあるのですか？

例題 112 接線に関する軌跡
京交の財S
|メ放物線 y=x° 上の異なる2点P(p, が), Q(q, q') における接線をそれぞれ,
とし、その交点をRとする。liと Lっが直交するように2点P, Qが動くとき,
点Rの軌跡を求めよ。
[類 名城大)
一例題108
えない。しかし
E 6. l,の方程式から交点Rの座標(x, y) を求めると,x とyはともにか, qの式で表される。
したがって,方針は
つなぎの文字 p, qを消去する
3章
そこで用いるのは
2直線が垂直 -→(傾きの積)=-1
18
3
交園 x軸に垂直な接線は考えられないから,liの傾きを m\bre
4
とすると,その方程式は
ソーが=m(x-p)すなわち y=m(x-p)+が
これと y=x° を連立して
整理すると
この2次方程式が重解をもつから,判別式をDとすると「花2
D=(-m)-4(mp-が)=m?-4mp+4が=(m-2p)
P(b, が) Qg, g°)
x=m(x-p)+が
l2
0
か
x
x°-mx+mp-が=0
R
円
(m-2か)?=0
l
D=0 から
2
よって
m=2p
したがって,Gの方程式は
ソ=2p(x-p)+が すなわち y=2px-が
同様にして,l2の方程式は
交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式①, ② の解である。
yを消去して整理すると
AS
式水
ソ=2qx-q°
40でかをqに
おき換える。
2(p-q)x=(p+q)(カーq)。
その
を 参考 左の答案は
今までに学習した
知識のみを用いて
接線の方程式を求
めているが,後で
学習する微分法を
用いると,より簡
単に求めることが
できる(第6章微
3 の解である。分法を参照)。
pキq であるから
x=
これをDに代入して
ソ=2か259-が=Dミ大きこ
2
次調
S iLle から
2か2q=-1
0
よって
ソ= bq=-- ずれさ
存在しなく
めている。
4
また,か, qは2次方程式 -2xt-ー=0
3の判別式をD'とすると
D'
1
x2+
4
よって
D'>0
4
ゆえに, 任意のxに対して実数か, q(カキg)が存在する。
逆の確認。
するす
したがって, 求める軌跡は
1
直線 y=ー
4
GOL
軌跡と方程式一

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

くるくる

逆に考えてみると良いと思います。

直行条件が使いたい→ニ直線の方程式が必要
(ここで連立することで自動的に軌跡のxが求まる)
って感じです。

条件を使うために必要なものを先に揃えていくというイメージです。慣れると指針が定まってくるので、類題をやるうちに慣れると思います。

IK

直交条件を、l1、l2の方程式を求める時に傾きをmと-m分の1にして使ってしまったのですが、なぜ後から使おうと思いつくのでしょうか？

くるくる

それはたぶん直行条件を勘違いしているのだと思われます。

直行条件はどちらかの傾きが分からないまま使うことは出来ません。m1m2=-1でのmは片方が定まらなければ両者任意の値を取ることができます。すなわち、少なくとも一方の傾きが分からなければ直行条件から得られる情報はゼロです。
先にm=-1/mと置いて、そこから方針が立たなくなったのはそれが原因です。

また、直行条件は傾き同士の積の値を知ることにも使えます。
今回の問題では同じような手法でm1,m2が個別に求まったので、そこからpqの関係式が現れたという具合です。

まとめると、
直行条件を使うには少なくとも片方の値が必要。
使う目的としては
①他方の直行した傾きが分かる。
②傾き同士の積の値がわかる。
がある。
と言うことを覚えておけばいいと思います。

IK

そうなのですか！
なるほど！
分かりました！
ありがとうございました！！

フォローさせて頂きます！