-
![]()
角の二等分線とベクトル
重要 例題 27
基本24 ①①000
平面上に原点Oから出る, 相異なる2本の半直線OX, OY(∠XOY<180°上に
それぞれ0と異なる2点A,Bをとる。
(1) = OA, = OB とする。 点Cが∠XOY の二等分線上にあるとき
c = OC を実数t と α で表せ。
(2) ∠XOY の二等分線と ∠XAB の二等分線の交点をPとする。 OA=2.
OB=3,AB=4のとき=OP を と言で表せ。
〔類 神戸)
T
指針 (1) ひし形の対角線が内角を2等分することを利用する。 OA'=OB'=1 となる点A,B
を,それぞれ半直線 OA, OB 上にとり ひし形OA'C'B' を作ると点Cは直線OC
にある
の方針で
(t は実数)
OCOC'
(2)(1) の結果を利用して、pad
P は ∠XAB の二等分線上にある
AP は a で表される。 p = OA+AP に注目。
解答
(1) , と同じ向きの単位ベクトル
それぞれOA', OB' とすると
a
方
OA'=
lal'
16
OA' + OBOC とすると、 四角形
OB'=
16
で2通りに表し,係数比較」
□ à±ð, b±õ, âט =
(1) の結果を使うと
AA'=aである点A'をとり
これを解いて s=8, t=6
b
B'
to
O A'
45 a
B
Y
161 C
OA'C'B' はひし形となる。
点Cは∠XOY すなわち ∠A'OB' の二等分線上にあるから
直線OC上の点である。よって100=(1+1/6)
C Dal
a
A X
であるから、1/12-14+1/11/28-11
t
S
t
S
3
したがって n=3a+26
(2) 点Pは∠XOY の二等分線上にあるから, (1) より
AA' である点A'をとると, 点Pは∠XAB の二等分線上
にあるから
AP=s( AB +
|AB| IAA) (sは実数)
OP=OA+APから五=a+s(+1)=(1 + i)ā + ² b
S
S
別解 (1) ∠XOY の二等分
線と線分AB との交点Dに
対し、AD: DB=||:180
からOD=
=lalla
lal+161 al
点Cは直線OD上にあるから
OC-ROD (k (2)
そこで
7 = 1 ( 2² + 3 )
a
b-
1610A+la/06
lal+161
lallol
lal+161
0X2A213
a
TROAF
(1
る
VE
A
よ
ゆま
-30
ま
ゆえ
ここ
ぞれ
これる
って
