例題 C2.68 直交する2つの接線の交点の軌跡 ****
-=1 上にない点P (p, g) から、この楕円に引いた2本の接
線が直交するような点Pの軌跡を求めよ.
考え方 接線がy軸に平行な場合と, そうでない場合に分けて考える。
て、点P (p, g) の軌跡を求める.
NOMA
軸に平行でない場合、 2つの接線の傾き mm2が mm2=-1 となることを利用し
2√2
Pから引く接線がy軸と平行でないとき,すなわち) ツ
17 のとき、接線は, y=(x-p)+g
解答
とおくことができる. これを
x2y2.
++ =1 に代入して,
17 8
√17
する
O
平行ということは、8x+17{m(x-p)+g}=17-8
したがって,
50 R17 m² + 8 ) x² + 2·17m (q — mp)x +17{(q — mp)²−8}=0
マクニログ
-v17 -2/27×12)
ごされないがこの2次方程式の判別式をDとすると,Pから引い 17m² 80
1で考える
た直線が楕円に接する条件は, D=0, つまり、2次方程
式が重解をもつことである.
D =17m²(qmp)-(17m²+8)・17((g-mp)-8}
―0で1分子1:0
=-17{17m²(-8)+8(g-mp)-82
=-17.8{-17m²+(q-mp)-8}
ぺき定義したがって.17mgmp80
きるから考え
していい
())
ここで、①の2解をm, m2 とすると,=-1
イトのときこれらは直交する.
(p2-17)m²-2pqm+g-8=0
が≠17 より ①mについての2次方程式となり、
その実数解は2本の接線の傾きを表す.
①
mについての方程式
したがって,解と係数の関係より、
mm2=-
92-8
p2-17
==
すなわち、 p'+q=25
また、このとき,①の判別式は正となるから,実数解
mm2 は存在する。
p=17のときは,'=8 の場合に2接線が直交する。
したがって,'+q=25
よって, 求める軌跡は,
2直線の傾きをm, m と
すると、 2直線が直交す
るとき,
mm2=-1
0100
ま
'17のとき、上の図
よりg'=8ならx軸に
原点を中心とする半径50円 平行な接線をもつ
ガキ17も=17も同じ
