なぜ赤丸のように考えられるのですか？ 公式ですか？

基本 例題5 二項係数と等式の証明 (1) k,C=Nカー1C&-1(n22, k=1, 2, (2)(1+x)”の展開式を利用して, 次の等式を証明せよ。 (ア) Co+,Ci+»C2+………+,C,+………+,Cn=2" (イ)Co-,Ci+ C2-……+(-1)",C,+…………+(-1)",C»=0 (ウ) Co-2,Ci+2°,C2-……+(-2)",C,+… +(-2)",C,=(-1)" n)が成り立つことを証明せよ。 p.11 基本事項4 n! 指針>( C,= r!(n-r)レ 利用して, knCa, nnー1Ch-1 をそれぞれ変形する。 (2)(ア)二項定理(6.11 基本事項4)において,a=1, b=xとおくと (1+x)"=,Co+,Cix+.Czx°+…+,C,x"+……+,Cnx" 等式のと,与式の左辺を比べることにより,①の両辺でx=1 とおけばよいことにタ づく。同様にして,(イ),(ウ) では xに何を代入するか を考える。…… 』 解答 つこやの n! 1) kCk=k!(n-k)! =n* An!=n(n-1)! 合楽役箱 1ァー1C&-1=n =n (k-1)!{(n-1)ー (k-1)}! kC=n-1C&-1 2)二項定理により,次の等式①が成り立つ。 したがって すべてのxの値に対して成り立つ。 (1+x)”=,Co+»C.x+»C2x°+………+Crx"+………+,Cnx" (ア) 等式ので, x=1とおくと よって Co+,Ci+,C2+……+,C,+…+Cn=2" (イ) 等式ので,x=-1とおくと よって Co-Ci+,C2- +(-1)",C,+…+(-1)",Cn=0 千文人n (ウ) 等式ので,x=-2とおくと (1-2)”=,Co+»C(-2)+»C2·(-2)°+………+,C,.(-2)"+………+,Cn°(-2) Co-2,C;+2°,C2-…+(-2)",C,+……+(-2)",C»=(-1)" よって 三考かを素数とするとき,(1)から この式は,C が必ずかで割り切れることを示している。 R,C&=Do-iCk-1(p22; k=1, 2, ……, p- 人n干民 次の等式が成り立つことを証明せよ。 Ci」nC2 2? 東習 a(S式)3[1 5 +(-1)"aCa_ 1 2 2" 2" X . (2) nが奇数のとき Co+C2+……+,Cn-1=』Ci+Cs+………+.Cn=2" CotSet……+,Cn=nCi+»Ca+……+,Cn-1=2"- nが偶数のとき

（2）がわかりません。どうして赤線部のような結果になるのでしょう…。どなたか教えてください🙇‍♀️

(1+x)" の展開式を利用して, 次の等式を証明せよ。 (1) Co- Ci+ C2- + (-1)*-1, Cカ-1+(-1)",C, = 0 C. C。 2 .+(-1)カー1 n Cnー1 27-1 Cn 1 (2) Co n n n Co- ニ 22 27 27 Action》 二項係数の和は, (1+x)" の展開式を利用せよ 二項定理により (1+x)" = »Co·1"+»C.·1"-1.x't»Ce.1"-2.g?+ … +»Cm-1*1· x"-1 +»Cn*x" +»Cm-1*1·x"-1+» C»*x" すなわち Co+»Cix+ C2x+ … +»Cn-1.x"-1 +»Cnx" = (1+x)" … ① シラス

mCk＝の後の（m−k）が何故あるのかわかりません。

例題8 二項係数と倍数 1 章 mを正の整数とするとき, 次の問に答えよ。 (1) 二項係数の和 m Co+ mCi + m C2+· + m Cm-1 + m Cm を求めよ。 2 m が素数であるとき,1ハをハm-1 を満たす整数 kに対してm Ck は m の倍数であることを示せ。 mが素数であるとき, 2"-2はmの倍数であることを示せ。(関西大) 1金) 例題6 (®Action 二項係数の和は, (1+x)” の展開式を利用せよ m! (2) mC。 がmの倍数=→ mCk = m× (整数)の形に変形する。 D (3) 前問の結果の利用 1公) も。 (1)を利用すると に(2)を利用 2"-2= (mCo+Ci+ mC+ … + Cm-1+mCm) -2 これが m×(整数)の形に変形できることを示す。 二項定理を用いて (1+x)" を展開する。 解 (1)(1+x)" ="CotmCix+ mCar +……+Cm-1X"-1 + m Cmx" x=1 を代入すると m Co+ m Ci+mC2+ +mCm-1+ m Cm = (1+1)” = 2" (2) 1<k<m-1 を満たす整数えに対して -10 例題 6 m! m m×(整数)の形にするた めに,mでくくり出す。 1SkSm-1 であるこ とに注意する。 C ニ k(k-1)!{(m-1)- (k=1)}! m m m-1Ck-1 k この式はよく用いられる。 p. 26 Play Back 1参照。 よって km Ck = mm-1 Ck-1 ここで,mC, ミ-1 C&-1 は整数であり,また,mは素数 であるからmとんは互いに素である。 したがって,m Ce は mの倍数である。 91<k<m-1 である ことに注意する。 () 0 1! - 整式·分数式の計算 思考のブロセス

(2)の問題の式が二枚目に書かれているのですが、計算の仕方を教えてください！😭 ちなみに答えは-345です。

(i)二項係数に関するつぎの等式を証明せよ。 (1)(i)(1+a)" を rの異べきの順に展開した式において, 第5項,第6項,第7項 の係数が等差数列になるようなnの値を求めよ. ただし, nは自然数でnこ6とする。 155 44 場合の数 12) の係数が等差数列になるようなnの値を求め上 ただし、 mは自然数でれこもとう。 この比の値を求めよ。 nCi+2,C2+3,C3+… ·+n, Cn =n.27-1 6 (ェ+2--)の展開式におけるポの係数を求めよ。 3

解答至急お願い致します🙏

教科書 p4. の二項展開 (1.4) を用いて次の和を求めよ. n n 1+ n 2 n n

青チャートⅡBの第一章基本例題5の解答で分からないところがあります。[参考]のpを素数とするとき、〜…を示している。のところがなぜそうなるのか分からないので誰か教えてください。

17 二項係数と等式の証明 基本例題 5 C=nn-1Ck-1 (n22, k=1, 2, …, n) が成り立つことを証明せよ。 0)(1+x)"の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。 (ア) Cot»Ci+n C2+……+»Cr+ +.Cn=D2" (イ)Co-Ci+»C2-…+(-1)C,+… +(-1)",C,=0 .Co-2,C.+2°,C2-… +(-2)",.C,+… +(-2)",Cm=(-1)" 大) p.11 基本事項4 のの 1章 1 n! 指針>(1),C,= を利用して,k,Ck, nnー1Ck-1 をそれぞれ変形する。 な (2) ア)二項定理 (p.11 基本事項4))において, a=1, b=x とおくと (1+x)"=,Co+,Cix+,Cax"+ .C,x"+ +.Cn.c" 等式のと,与式の左辺を比べることにより, ①の両辺でx31 とおけばよいことに気づ く。同様にして, (イ), (ウ)では r に何を代入するか を考える。 解答 n! (1) k,Ck=k =n* An!=n(n-1)! nnー1C&-1=n* (k-1)!{(n-1)-(k-1)}! k, C&=nnー1C&-1 (2) 二項定理により, 次の等式① が成り立つ。 =n* したがって すべてのxの値に対して成り立つ。 (1+x)"="Co+Cix+»C2x?+……+.Crx"+……+Cnx" (ア) 等式ので,x=1とおくと (1+1)"=,Co+»C;·1+»C2*1°+…+.C,·1"+… +»Cn*1" Co+Ci+»C2+…+C,+……+Cn=D2" よって (イ) 等式ので,x=-1とおくと よって Co-C,+»C2-………+(-1)",C,+…+(-1)",C,=0 (ウ) 等式ので, x=-2とおくと (1-2)"=,Co+»Ci. (-2)+»C2·(-2)+…+.C, (-2)"++,Ca-(-2)" Co-2,Ci+2°%C2ー……+(-2)",C,+ +(-2)",Cn=(-1)" よって かを素数とするとき, (1)から この式は,C& が必ずかで割り切れることを示している。 RCa=Do-1Ca-1 (カ22:k=1, 2, これ (p.19 EX3 練習 次の等式が成り立つことを証明せよ。 C」C2 2 2? 2" 2" (2) nが奇数のとき ,Co+»Ca+…+.Cn-1=,Ci+»Cs+ +.C%3D2"1 nが偶数のとき ,Co+,C2+…+Cm3"Ci+»C。+ +.Cn-1=D2"-1 |3次式の展開と因数分解、二項定理

二項定理です！ (数II) x=1を代入する過程？ 理由？ が分かりません。 教えてくれると嬉しいです！ 写真の1枚目が問題で 2枚目がヒントのようなかんじで 3枚目が解答なのですが、

二項定理 (1+x)” の展開式を利用して, 2000<,Co+»Ci+»Ce+»Cs+………+»Cn<3000 を満たす自然数 n の値を求めよ。

マーカー部分の意味が分からず困っています。 教えてください😥

次の式を展く問題B 11<二項係数> 次の展開式における[ ]内の項の係数を求めよ。 お(2)(3x-2x) Lx°] 17 12/<二項定押の利田 の 中 ミーP n ム

この帰納法の記述方法って、pとnに関する数学的帰納法で証明する。(1)n=1、p=1のとき(2)n=k、p=ℓのとき命題が成立すると仮定した場合、n=k^p=ℓ+1、n=k+1^p=ℓのときそれぞれ成立することを示す という感じですか？

ヴァンデルモンドの畳み込み: 以下の恒等式が成立する: n 2,CCn-k = p+g Cn 9 k=0 ただし,p<kのとき,C = 0 と約束する。 この恒等式はヴァンデルモンドの畳み込み (Vandermonde's convolution), ヴァンデルモンドの 恒等式(Vandermonde's identity)などと呼ばれる有名 な恒等式です。 * 某有名予備校の模試でそのまんま出題されたこと があります。 * 2014千葉大後期数学科で似たような問題が出題 されたらしいです。 二項係数の関係式を導く問題のよい例となっているの でおさえておきましょう。 数学的帰納法を用いた証明 方針:二項係数の関係式を証明する問題の多く

（ii)のp∧r≦2nの所をどうやって導くのかご教授頂けると幸いです。すみませんが。 以下のURLで、pi をp、ai をrに直せば良いのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。 https://9010.teacup.com/1942may/bbs/16189

る。ここで和は がSれくか+! であるsまでの有限個である。 (i)(i)から,二項係数 cn=l (2nを素数かで割ったとき,ちょうど れ がで割り切れるとすると, r=2[ent(2n/ph)-2ent (n/p*)] である。この各項は0か1なので, 各かについてが2nである。 (i) Cn<4";n24 ならば cn>4"/n. (iv) nと 2n との間の素数の積 く4" ; これからnに関する数学的 納法により, nまでの素数 Pnの積は 4より小さい。 (v) nと 2n との間にもしも素数がまったくなければ, Cnは 2m/3まで の素数pの累乗の積に素因数分解される。しかもかN< 2n ならがで しか割れない。 (vi) 以上をまとめると,(v) の仮定の下に, n が十分大ならば,不等 式 4/n<4°n/3. 2n°2n/2 が成立する。 (vii)(vi) の不等式は, たとえばn2128 では成立しない.したがって (v)の仮定は誤りである.それ以下の nについては,直接素数表を見 ればよい。