Question

C

この帰納法の記述方法って、pとnに関する数学的帰納法で証明する。(1)n=1、p=1のとき(2)n=k、p=ℓのとき命題が成立すると仮定した場合、n=k^p=ℓ+1、n=k+1^p=ℓのときそれぞれ成立することを示す
という感じですか？

ヴァンデルモンドの畳み込み:
以下の恒等式が成立する:
n
2,CCn-k = p+g Cn
9
k=0
ただし,p<kのとき,C = 0 と約束する。
この恒等式はヴァンデルモンドの畳み込み
(Vandermonde's convolution), ヴァンデルモンドの
恒等式(Vandermonde's identity)などと呼ばれる有名
な恒等式です。
* 某有名予備校の模試でそのまんま出題されたこと
があります。
* 2014千葉大後期数学科で似たような問題が出題
されたらしいです。
二項係数の関係式を導く問題のよい例となっているの
でおさえておきましょう。
数学的帰納法を用いた証明
方針:二項係数の関係式を証明する問題の多く

|証明
9,n に関する数学的帰納法で証明する。n=0の
ときは1=1より成立。
9=0 のときは、左辺も右辺も,C,となり成立。
(9-1,n) 及び(g-1,n+1) で成立すると仮定
して(q, n+ 1) の場合を考える。
n+1
n+1-k
k=0
n+1
n+1
= 2,C
*q-1
C+1-k + 2,Cq-1 Cn-k
k=0
k=0
n+1
n
= 2,C-1C+1-k+2,C-C-k
k=0
k=0
= p+q-1Cr+1
P+q-1C,
= p+g Ca+1
ここで、1行目から2行目への変形と,最終行への変
三
形で二項係数の関係式(パスカルの三角形の性質)
を用いた。3行目から4行目への変形で帰納法の仮定
を用いた。
このように,パスカルの三角形の性質を用いてn の小
さい場合に帰着させて帰納法で証明する手法は頻出な
のでおさえておきましょう!

数学的帰納法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ひま

違います
左2つを仮定して、右上1つが導かれる形です

C

答えてくださってありがとうございます🙇‍♂️
n、p)=(k、k)(k+1、k)の時成立すると仮定
(n、p)=(k+1、k+1)も成立することを示す
ということですか？これはnに関する帰納法ですか？それともnとpに関する帰納法ですか？

ひま

その書き方だとn=p(すなわち原点を通る傾き1の直線上)の時しか仮定できてないので間違ってますが、雰囲気はつかめてると思います
あまりこういう言い方をしたことがありませんが、あえて言うんなら(n,p)に関する帰納法となります

C

n、p)=(k、k)(k+1、k)の時成立すると仮定
(n、p)=(k+1、k+1)(k+2、k+1)も成立することを示す
ですか！なるほど、ありがとうございます🙇‍♂️

ひま

違います！
nとpにどっちも同じkを使うと、nとpに従属関係が生じてしまいます
(n,p)=(k,l-1)と(n,p)=(k,l)を仮定して(n,p)=(k+1,l)を導くです

C

違うんですか…😢あ！なるほど、確かにそうですね！ありがとうございます🙇‍♂️🙇‍♂️