9 mm137 不等式の証明 eeog
Fのすべての自然数ヵ について, 次の不等式が成りコー>ュ。
j 3ブッゲーg填2隊 成り立つことを証明せよ。
っ590天頂[ )
であるすべての自然数ヵについ に本
医じ と "成り立つことを示すには。 出発点 を変えた数
[1] ヵ三便のときを証明。 ー 出発点
[2] ヵデん(な=候) のときを仮定し。 =ニム+1 のときを証明
本問では, ヵ計3 のとき,という条件であるから, まず, のー3 のとき不等式が成り立つこと
を証明する。なお, ヵーん十1 のとき示すべき不等式は >(&キ1アー(&+10+2 に
⑰ 大小比較差を作る 4>ぢの証明は 差メーj>0を示す
MM 3章
3 89 の出発点に注意
」 l2| な1の場合に注意して変形
的
軸 ヵデ3のとき (左辺)=*ー9, (石辺)=3%ー3二2=8 る出発点は カニ3 困
ょって, ①⑪ は成り立つ。 < (左辺) >(右辺)
較 ヵデを(&計3) のとき, ① が成り立つと仮定すると くき3 を忘れずに。
>記一を二2 …… ②
ヵ=を1 のとき, ① の両辺の差を考えると, ② から
』 (1)"一(を十1)十2] =3・3にユー(だが二を填2) 3 を利用できる形を作り
>3(だーーを填2)一(ダ二ん2) 出す。
ダー っ=に
=2だ一4z十4三2(メ一1)“十2>0 く基本形を導くことにより,
ゆえに 3%>(&+1"ー(%+1+2 (0)ー(人有吉>0 ががき
よって, ヵニ寺1 のときにも ① は成り立つ。 ャ人
上 [2] か5, ヵき3 であるすべての自然数 ヵ について ① は成
9立っ。 ・
上 "とゲーヵ二2 の大小関作
関数3*-!、ッニーダーァ十2 のグラフは右図のようになる。
放 2つのグラフの上下関係から
>がーカ十2 (z3)
が成り立つことがわかる。
(指数関数のグラフについては, 数学Iを参照。)