階差数列を考える時、2枚目の3行目の赤ペンが入っている階差数列を3枚目の階差数列として解いてしまいました。 なぜ3枚目だとダメなのでしょうか。項数が違ってしまうとかでしょうか…

2) a1=2, na,+1=(n+1)an+1 ④をn(n+1)で割ると, bn = an n an+1 an 1 = + n+1 ” とおくと, bn+1=bn+ よって,n≧2のとき, n(n+1) n 1 n(n+1) 1 :.bn+1-bn= n(n+1) 1 n-1/1 1 =2+ Σ k=1k k+1 1-by)=2+2k(k+1) bn=b₁+(b+1-br) bn=b₁+ (bk+1-bk)=2+ Σ 1 =2+ 1 (n-1)+1 1 =3- (n=1のときもこれでよい) n ∴an=nbn=3n-1 11 演習題 (解答は p.76) 次で定義される数列{an} の一般項を求めよ. an-1 (1) a1=8, an= (n=2, 3, ...) (津田塾大・目・大 (n-1)an-1+1 (2) a1=3, anan+1=5・22n-1 (n=1, 2, 3, ...) (信州訃) 66

4行目のように全ての2をtに置き換えるとうまくいかなかったため5行目のように第2、3項のみtに置き換えるのでしょうか。 それともそもそも、他の問題でも同じく第1項をtに置き換えないなどの決まりがあるのでしょうか。

3 ①2(x+1)-21320 ②-233x2+220 x +3x² - t⋅ 3x² + +³ 20 2x3 t3x+3z (x-1)^(2x+t)≧0 つ x 72 2+3-3t 1-t

マーカーのところって初項ですよね？ 毎回階差数列を解くときにマーカーのところが間違っていることが多々あります。

72 (1) S=1.1+32 +52 + ......+ (2n-1)・2"-1 1･2 +32 + ･･････ +(2n-3)・2"-1 302S= [1], x= と+(2n-1)・2 x= 辺々を引くと よって 8+ S-2S=1+2・2+ 2 2 + ･･････ +2.2"-1 (2n-1)・2" −S=1+2(2+2+ ...... + 2"-1)-(2n-1)・2n 2 (2"-1-1) =1+2. 2-1 B (2n-1). 2n =(3-2n)・2"-3 したがって S=(2n-3)・2"+3 E () 73 =

29の⑵について質問です！！初めて99が現れるのを、どうして画像のようにして求められるんですか？この数列では同じ数字がたくさん出てくるのに、もっと複雑な計算をしなくていいんでしょうか？教えてください🙇

[練習 第n 群がn個の数を含む群数列 29 1/2,3/3,4,54, 5, 6, 75, 6, 7, 8, 96, について [類 東京薬大 ] (1) 第n群の総和を求めよ。 (2)初めて99 が現れるのは,第何群の何番目か。 (3)最初の項から1999番目の項は,第何群の何番目か。 また、 その数を求めよ。

5の⑴の問題について質問です！ Aの要素に2、Bの要素に4が入るのはなぜですか？2を5で割っても2余らないと思うんですが、、 どなたか教えてください！

EX 45 200 未満の正の整数全体の集合をUとする。 Uの要素のうち,5で割ると2余るもの全体の集 合をAとし, 7で割ると4余るもの全体の集合をBとする。 (1) A, B の要素をそれぞれ小さいものから順に並べたとき, Ak番目の要素を とし, B のん番目の要素をbk とする。 このとき,a= すべて の特徴別の向 ,b= 最大のものはであり,Aの要素すべての和は と書ける。 Aの要素のうち である。 [00要素すべての (2) C=A∩B とする。 Cの要素の個数は であるから また, Cの要素のうち最大のもの 個である。 は である。 MC, DO (3) Uに関するAUB の補集合をDとすると, Dの要素の個数は 個である。 また, Dの 要素すべての和は である。 Aの要素は 2, 7, 12, 17, ...... Bの要素は よって 4, 11, 18, 25, ... ak=2+(k-1)・5=5k-3, bk=4+(k-1)・7=17k-3 (30 [ 近畿 ] ←{a}: 初項2. 公差5 の等差数列。 {bk}: 初項4,公差7の | 等差数列。

2行目から3行目の変形で、なんでΣ(n~k)k=1/2n(n+1)を使わずにnをkに代入して解けるんですか。

= k=1 24-1 (1)ゴーカ (n+1)2-1-2-2 n 1-2" = k 2' k=1 Jk. 2* - - Finl 1-2

（2）の問題について質問です。なぜ3のK乗になるのか教えて欲しいです。（解答解説、写真の1行目）。3のk-1乗だと思いました。 教えてください🙇‍♀️🙏

コ よって、求める和は 2(21-1)-22-21 k=1 k=1 k=1 4(2n-1) =- -n=2’ 2-1 練習 42 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。 (1) 2,2+4,2+4+6, 2+4+6+8, ***** (2) 1+3, 1+3+ 9, 1 +3 +9 +27. *****

なぜnが偶数のとき、奇数のときで分けるのでしょうか 最後の式もなぜ足すのかと計算方法が分からないです。よろしくお願いします🙇‍♀️

500 第8章数 列 例題 285 いろいろな数列の和 Sn=12-22+32-42++(-1)n+1n2 を求めよ. *** ........(-1)+1の和であるが,nが偶数か奇数かで、 考え方 Sn は数列 12, 22, 32, 42, その和を分けて考える必要がある. nが偶数、つまり、n=2mmは自然数) のとき, Sn=12-22+32-42++ (2m-1)2-(2m)2 |解答 第 2 項 =(12-22)+(32-42) +...... +{(2m-1)-(2m)2} 第3項 第 (2m+1) 項 nが奇数, つまり,n=2m+1のとき, Sn=12-22+32-42++ (2m-1)2-(2m)+(2m+1)2 =(12-22)+(32-42)+…+{(2m-1)-(2m)2}+(2m+1)2 -第1項 nが偶数のとき, n=2m(mは自然数)とおくと, n=2,4.6. Sn=Szm=(12−22)+(3-4)+... +{(2m-1)-(2m)2} m m ={(2k-12-(2k)2}=Σ(-4k+1) k=1 k=1 =-4• -4.1 m (m+1)+m=-m(2m+1)....... n=2mより,m=1/23nを①に代入して, ++ S₁ = -1/n (n+1) …② nが奇数のとき, n=2m+1(mは自然数)とおくと, Sn=Szm+1=(12−22) + (32-42) +・ +{(2m-1)2-(2m)2}+(2m+1)2 数列 { (m-1)^2-(2m) の初項から第m項ま での和と考える. |和はnで表す. n=3,5,7, =Szm+(2m+1)=-m(2m+1)+(2m+1)2 Focus =(m+1)(2m+1) n=2m+1 より,m=1/2(n-1) ③に代入して, === S.-(12+/1/1) (17-1+1)=1/2(+1) n+ ④は n=1のときも成り立つ. …... ④ n=1 とすると, よって,②④より,S,=(-1)+11n(n+1)) nが偶数の場合と奇数の場合に分けて考える S2m+1=S2m+a2m+1 •1・2=1 場合分けた② ④ の形のままでもよい。

【2】のn=k+1の時を考える時の波線しているところがわかりません。 教えてください。

基本 例題 55 等式の証明 nが自然数のとき, 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。 1・1! +2・2! + ••••••+n.n!=(n+1)!-1 ***** ① 00000 ①①① |指針 数学的帰納法による証明は, 前ページの例のように次の手順で示す。 [1] n=1のときを証明。 [2] n=kのときに成り立つという仮定のもとで n=k+1のときも成り立つことを証明。 [1], [2] から, すべての自然数nで成り立つ。 - 出発点 まとめ [類 早稲田大] P.498 基本事項 [2] においては, n=kのとき ① が成り立つと仮定した等式を使って、 ① の n=k+1 のときの左辺 1・1!+2・2!+・・・・・・ +kk!+(k+1) ・(k+1) が, 右辺 {(k+1)+1}!-1に 等しくなることを示す。 また,結論を忘れずに書くこと。 [1] n=1のとき 注意 は数学的帰納法 解答 (左辺)=1.1!=1, (右辺) = (1+1)!-1=1 よって, ①は成り立つ。 の決まり文句。 答案ではき ちんと書くようにしよう。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 1・1! +2・2! + ••••••+k.k!=(k+1)!-1 n=k+1 のときを考えると, ② から 1・1! +2・2! +······+kk!+(k+1) ・(k+1)! =(k+1)!-1+(k+1)(k+1)! ={1+(k+1)}(k+11-1 12_ (k+2) (k+1)-1=(k+2)1-12 ={(k+1)+1}!-1 よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。 ..... ② kは自然数(k≧1) <①でn=kとおいたもの。 <n=k+1のときの①の 左辺。 n=k+1のときの①の 右辺。 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 結論を書くこと。

写真の1番の様な全ての数字が消えきらない部分分数分解の時に、残る数字の求め方って地道に全て代入してみるか無いのでしょうか

練習 ② 25 (1) 1 1.3' 2.4' 次の数列の和を求めよ。 1 1 1 3.5'9.11 3.5' 1 1 1 (2) 2･5' 5・8' 8・11' (3n-1)(3n+2)