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基本 例題 50 2次方程式の作成(2)
(1) 2次方程式x²-2x+3=0 の2つの解をα, β とするとき,α+
1
1
基本事
B+
解とする2次方程式を1つ作れ。
B
a
を
2次
1
(立教大
式を解く。
(1) 解と係数の関係から α+β=2, aβ=3
よって
解答
(a+1)+(3+1)=a+B+a+B
=2+
(a+1/2)(B+/1/2)=ab+c+2=3+1/3+
+2=
2次方程式 x2+px+g=0の2つの異なる実数解を α, β とするとき, 2数
α+1,β+1が2次方程式 x2-3px-2pg=0の解になっているという。
とき, 実数の定数p, g の値を求めよ。
指針
解と係数の問題 解と係数の関係を書き出すに従って考える。
(1) まず, 2次方程式x²-2x+3=0 について, 解と係数の関係を書き出す。 そして、
2つの解の和と積を求め,xー(和)x+(積)=0とする。
(2)2つの2次方程式の解と係数の関係を書き出し, α, B, b,g についての連立方程
①
この
基本49
2
2
2
1
②
E
194
■2次
なんで
x². -x+
16
3
したがって, 求める2次方程式の1つは
8
3
(2) 実数解に関する条件から
2つの2次方程式において,解と係数の関係から
a+b=-p
②aß=g
(a+1)+(β+1)=32
(a+1)(ß+1)=-2pg
②④に代入して
③,
④,
******
(5)
-p+2=3p2
よって (カ+1)(3-2)=0 ゆえにp=-1,
て831563
23
[C
1
◄a+
B'
1
a
B+ の和と積
は,α,βの対称式である。
よって、 基本対称式
0<0
α+β, aβ で表す。
- = 0 すなわち 3x²-8x+16=0x(和)x+(積)=0
[C
2-4q>0
......
①
[C
1つ目の方程式の判別式
Dについて D> 0
それぞれの方程式につい
て,解と係数の関係を書
き出す。
3p2+p-2=0
23
⑤からB+(a+β)+1=-2pg
② ③ を代入して g-p+1=-2pg
(*)
これから=1のときq=2,=/1/3のとき1/17 (*)に1.1/2
を
①を満たすものを求めて
16=1/30=-1/
順に代入して解く。
7
練習
② 50
(1) 2次方程式 2x2-4x+1=0の2つの解をα,βとするとき、α--
とする2次方程式を1つ作れ。
1
1
B-
を解
a
B
(2) 2次方程式 x2+px+g=0は,異なる2つの解α, β をもつとする。 2次方程式
x2+qx+p=0が2つの解α(β-2)
[類 立命館大]
