a+6, ab が整数のとき、自然数 n に対して a" + b" も整数にな
ることを示しなさい。
この例題を数学的帰納法で考えてみましょう。
ステップ1の n=1の場合は明らかです。ステップ2では「ak + b が
整数なら a+
1 が+1 も整数」 を示せばいいですね。ak + btにa+b
を掛ければ、ak+1 bk+l が出てくるので、このことを利用して変形し
てみましょう。
a
k+1 + 6¢+1
= (a* + b)(a+b)- bak - abe
= (a* + 6)(a+b) - ab(a^-1 + 6*-1)
となります。ここで、ak + b は数学的帰納法の仮定から整数である
ことがわかります。 また、 a+bと ab も整数であることは仮定からわ
かります。しかし、a-1+ ba-1 がやっかいです。 これが整数である
かどうかはわかりません。
