頂き
を
の
部
Y4 図形と方程式 (50点)
0を原点とする座標平面上に, 中心が点 (3, 1) でx軸に接する円Cがある。また、原
点からに引いた接線のうち,傾きが正であるものをとし,Cとlの接点をAとする。
(1) Cの方程式を求めよ。
(2) lの方程式を求めよ。
(3)は,中心がy軸上にあり,点AでCとlに接している。 Dの方程式を求めよ。ま
点PはD上の点であり, OP =3を満たしている。点Pの座標を求めよ。
配点 (1) 10点 (2) 18点 (3) 22点
解答
(1)
Cの中心が点 (31) であり, Cはx軸に接するから,Cの半径は, C
の中心のy座標に等しく, 1である。
x軸に接する円の半径は、円の
心のy座標の絶対値に等しい。
したがって, Cの方程式は (x-3)2+(v-1)2=1
圏 (x-3)2 +(x-1)²=1
(2)
解法の糸口
Cとl が接することを, 2次方程式が重解をもつ条件に読み替えて考える。
lは原点を通る傾きが正の直線であるから,その方程式は
y=mx(m>0)
と表される。
C と l が接するとき,これらの方程式からyを消去して得られるxの2次
方程式
(x-3)2+(mx-1)=1
は重解をもつ。
①を整理すると
(x2-6x+9)+(m2x2-2mx+1)=1
(m²+1)x2-2(m+3)x+9=0
①'の判別式をDとすると2=0であり
D
121=(m+3)2-9(m2+1)= 0
-8m²+6m=0
-2m (4m-3)=0
3
m = 0.
4
3
m>0より
m =
4
したがって、lの方程式は y=
[(2)の別解〕
(3行目まで本解と同じ)
3-4
3
y=x
NA
A
ROS
C
EL
10
3
x
◆円と直線の方程式からyを消去し
て得られるxの2次方程式を
ax2+bx+c=0
とし、その判別式をDとすると,
D=62-4ac であり
円と直線が接する
← 2次方程式が重解をもつ
⇔D=0
D
また,b=26' のとき 1241=b2-ac
