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3aPA + 6PB+cPC=0——
三角形ABCの内部に点Pがあり, 等式6AP + 3BP+2CP = 0 をみたす. また, 線分BC を 3:2
に内分する点をQ とする. 次の問いに答えよ.
(1) AQをAB と AC を用いて表すと AQ
AB +
(2) AP を AB と AC を用いて表すと AP=
AB+
(3) 三角形ABCの面積を S, 三角形 APQ の面積をTとするとき, S=|
(3) は△ARQ=
C
PA+ 6PB+cPC=0 を満たす点Pのとらえ方 (2) のようにAを始点にして条件式を書き直
すのがよいだろう (そうすると3か所にあったPが1か所になる). このあと,
直線APとBCの交点をRとして, AP=αAB + BAC をんAR の形にする
(2) とRの “位置” がわかる.
面積比を求めるときは底辺か高さが等しい三角形の組を見つける 例えば
右図で△ARQ: △APQ=AR: AP となる (底辺が AR, AP で高さが共通).
解答量
(1) AQ=AB+ AC
(2) 条件式を, Aを始点に書き直すと,
よって,
AR
AP
6AP+3(AP-AB)+2(AP-AC) = d
11AP=3AB+2AC
3
よって AP= ABAC
11
11
(3) AP=3+2 (AB+AC) &#. AR-AB+AC &
と書ける.
11
(AB, AC の係数の和が1だからRはBC上にあり) Rは線分BC を 2:3に内分
する点である.また, AP=
C
5
11
-AR であるから,
Rは直線AP 上の点で
BC
-△APQ, △ABC= △ARQから求める.
RQ
AP: AR=5:11
BC
RQ
BC AR
RQ AP
S=△ABC= -△ARQ
5 11
1 5
3 羽品
AAPQ=
1.
T=11T
A
-AB +2 AC とおくと,
A
11
B
R
AC である.
AC である.
B
]Tである.
(国士舘大・理工)
P
Q
☆R
B
APの延長とBCの交点を R と
して, R を求める. R は BC上の
点だから AB, AC の係数の和は
1.この変形については, O2 の
傍注を参照.
←△ABC,△ARQの底辺をBC,
RQとみる (高さが共通).
△ARQ, APQの底辺を AR,
AP7, 7 (
I
ZE
せ
F
