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a<0, Ds
(a<0, D<
または「任意の
辛式が成り立つと
が、すべての
と。
二凸の放物線対
ある条件と同じ、
に接する
ある条件と同
ごはなくDS!!
基本例題114 2次不等式がある区間で常に成り立つ条件 ①①①①
0≦x≦8のすべてのxの値に対して,不等式 x²-2mx+m+6>0が成り立つよ
うな定数mの値の範囲を求めよ。
[類 奈良大]
指針 この問題ではxの変域に制限があるから、 例題113と同じように考えてはダメ!
そこで,問題をグラフにおき換えてみると、求める条件は
0≦x≦8の範囲でy=x²-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」
ということ。これを (区間内の最小値) > 0 と考えて進める。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える
解答
求める条件は 0≦x≦8 におけるf(x)=x²-2mx+m+6の最
小値が正となることである。
f(x)=(x-m)²-m²+m+6であるから、軸は直線x=m
[1] m<0のとき, f(x)はx=0で最小
[1]
り、最小値はf(0)=m+6
となり,
ゆえに m+6>0
<0であるから(*) -6<m<0
[2]≦m≦8のとき, f(x)はx=mで最
小となり, 最小値は
練習
f(m)=-m²+m+6
ゆえにm²+m+6>0
すなわち
²-m-6<0
これを解くと, (m+2)(m-3)<0から
1-2<m <3
よって m>-6
0≦m≦8であるから 0≦m<3
(*)
mmmmmmmmmm
[3] 8<mのとき, f(x)はx=8で最小
となり、最小値f(8)=-15m+70
ゆえに,-15m+70>0から m<
14
3
POINT
......
これは8<m を満たさない。
求める の値の範囲は、①,②を合わせて
定ン]
[2]
[3]
m
0m8
8x
x
m
08x
-6<m<3
基本 79
f(x)=x²-2mx+m+6
(0≦x≦8) の最小値を求め
る。 → p.130 例題 79 と同
様に,軸の位置が区間
0≦x≦8の左外か,内か,
-------
右外かで場合分け。
[1] 軸は区間の左外にあ
るから、区間の左端
(x=0) で最小となる。
[2] 軸は区間内にあるか
ら, 頂点 (x=m) で最小
となる。
[3] 軸は区間の右外にあ
るから、区間の右端
(x=8) で最小となる。
(*) 場合分けの条件を満た
すかどうかの確認を忘れずに。
[1], [2] では共通範囲をとる。
f(x) の符号が区間で一定である条件
区間でf(x) > 0
[区間内のf(x)の最小値]>0
区間でf(x)<0⇔[区間内のf(x)の最大値] < 0
合わせた範囲をとる。
DOTA
f(x)=x²-2ax+a+2 とする。 0≦x≦3のすべてのxの値に対し
この値の範囲を求めよ。
[類 東北学院大 ]
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章 3 2次不等式
3章
13
