基本 例題 47
数学的帰納法と不等式の証明
800000
n5 を満たす自然数nに対して, 2">n" が成り立つことを数学的帰納法に
よって証明せよ。
基本事項 1 基本 45
か.420
CHART & SOLUTION
数学的帰納法 (一般)
MOTULO TRAMS
必要な場合)
[1] 出発点はn=1 に限らず
[2]n=kの仮定から
n=k+1 の証明
この例題では,n≧5 であるから,まず
を出発点とする。
[1] n=1 のとき の代わりに [1] n=5のとき
また,不等式 AB を証明するのであるから, A-B> を示せばよい。
解答
(-)
2">ne
......
① とする。
[1]n=5のとき
(左辺) =25=32, (右辺) =52=25
ゆえに、不等式①はn=5のとき成り立つ。
[2] k≧5 として,n=k のとき ①が成り立つと仮定すると
121
2k>k2
n=k+1 のとき, ①の両辺の差を考えると
2k+1_(k+1)²=2.2"-(k+2k+1)
すなわち 2k+1>(k+1)2
>2k2-(k+2k+1)
=k-2k-1=(k-1)^2>0
よって, n=k+1 のときにも不等式①は成り立つ。
[1], [2] から, n≧5 を満たすすべての自然数nについて不等
式①は成り立つ。
(左辺) =2+1
(右辺)=(k+1)2
<+2.2>2-k²
k≧5 であるから
(k-1)^2はん=5で
最小値14 (0) をとる。
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