数列です。 どう計算したらn²になるか教えて頂きたいです🙇‍♀️"

3 この数列の階差数列は 1, 4,9,16, その一般項をb" とすると, b=n² である。

至急です🙇‍♂️数Bの色々な数列です。最後の式変形がわからないです。

15 10 応用 次の和Sを求めよ。 例題 4 解答 S=1・1+2・2+3+......+n・2n-1 考え方 83ページで等比数列の和の公式を導いた方法を用いる。ここ では, Sと2Sの差を計算する。 S=1・1+2・2+ 3・22 + 4.2°+.…‥+n・2n-1 2S= 1・2+2・22+3・2°+…………‥+(n-1)・2"-1+n・2" の辺々を引くと S-2S=1+2+2+2+ ...... +2”-1-n・2" よって したがって -S=2"-1 2-1 -n.2n S=n・2"-(2-1)=(n-1)・2"+1

グレーでマーカーしている部分を中心に解説していただきたいです。

タイムリミット20分 94 等比数列, 階差数列 第2項が6,初項から第3項までの和が26である等比数列で,公比が1より大きいものを {an} とし,数列{an}の初項から第n項までの和をSとする。 (1) 数列{an}の初項はア (2) 数列{6} を次のように定義する。 n bn=Σ(n-k+1) ak k=1 Sn=ウ 公比はイであり, 2+8=10 2-195 RATI =na,+(n-1)a2+..+2a-1+an (n=1, 2,3,…) たとえば, b=a1, bz=2a+αz, bs=3a+2a+α である。 数列{bn}の一般項を求めよう。 数列{bn} の階差数列を {cm} とする。 C = bt1-6であるから, Cn = オを満たす。 オに当てはまるものを,次の ⑩ ~ ③ のうちから一つ選べ。 0 Sn ① ② Sn+1 - Sn したがって, 数列{bn}の一般項はbw= ウ [n++ エである。 |-n- 2-2-0 3 - Sn+1 ク 「ケ ▷p.140 2 p.1416 である。

赤線部分の4行がわかりません。 なぜ③の両辺をan+1で割った式をどう見れば、階差型になっているとわかるのですか？ また、Σの式を変形したところも(下から2行目、よって〜の部分)どこからこのように変形できるのかがわかりません。

Σ₁ (2n-2k+1) <=> 2 (2n-2k+₁) k = o k=0->1 k=1 ntl ntl htl <=> 2Σh - 2 Σk +Σl K=1 Kil Kil くくる h→nt! に書き換える。 = 2n(n+1)-2.(n+¹)(n+2)+1(n+1) C =(n+1) {2n - (n+2)+1} =(n+¹) (n-1)

私が下線を引っ張ったところがなぜそうなるのかわかりません！

128 数学B 第6章●数 例題110 a=1, an+1=3an-4n で定義される数列の一般項an を求めよ。 bn=an+1- an とおくと, an+2an+1={3an+1-4(n+1)}-(3an-4n) =3(an+1-an)-4 bn+1=3bn-4 bn+1−2=3(b-2) =1+ これを変形すると, したがって, 数列{bn-2} は , 初項 bı-2=(a2-a)-2=(3a1-4-a) - 24,公比 3 の等比数列である。 よって, bn-2=-4・3-1 より, よって, bn=-4・3-1+2 数列{bn} は{an}の階差数列であるから, n ≧2のとき, n-1 an=a+2(-43-1+2) k=1 an+2=3an+1-4(n+1) an+1=3an-An −4(3¹−¹−1) -+2(n-1) 3-1 an+2an+1=3(an+1-an)-4 =-2・3"-' +2n+1 a=-2.3°+2・1+1=1 であるから, この式はn=1のときも成り立つ。 an=-2・3"-1+2n+1 これと漸化式 αn+1=3an-4n を比較して f(n+1)-3f(n)=-4n a(n+1)+β-3(an+β)=-4n 別解 f(n)=an+β とおき, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)} がすべてのnについて成 り立つような定数 α, βの値を求める。 an+1=3an+f(n+1)-3f(n) -2an+α-2β=-4n これはnについての恒等式であるから,-2a=-4, α-2=0 より, α=2, β=1 an+1−{2(n+1)+1}=3{an-(2n+1)} このとき したがって, 数列{an-(2n+1)} は, 初項 α-(2・1+1)=- 2,公比3 の等比数列であるから, an-(2n+1)=-2・3-1 よって, an=-2.3"'+2n+1 発展

漸化式の問題です〜。 (1)のbnの一般項を求めるのに階差数列で等比数列の和をとるのは分かるのですが何故黄色マーカーで示した場所は2^n-1となるのですか？ Σがn-1までなのでkにそのn-1までを代入して k-1=n-2で2^n-2とならないのですか？？ 教えてください

n=1,2,3, ・・・・・・ に対して, n Σak = n² = k=1 b1=1,6+1-bn=2n-1 で定義される数列{an}, {bn} に対して,第n群がn個の項 abn, azbn-1, ・・・・・ abı で構成される次の数列 aibab2a2bı | abs, a2b2, asbilaba, を考える.この数列の初めから数えてk番目の項をck (k = 1, 2, 3. する.すなわち, C1=abi, C2=a1bz, C3=a2b1, Ca = ab3, である. このとき, 次の問いに答えよ. (1) 数列{an},{bn}の一般項をそれぞれ求めよ. (2) 第n群のn個の項の総和を求めよ. (3) CL = 38 を満たすに対して, Σ ck を求めよ. k=38 .....

赤線部分の4行がわかりません。 なぜ③の両辺をan+1で割った式をどう見れば、階差型になっているとわかるのですか？ また、Σの式を変形したところも(下から2行目、よって〜の部分)どこからこのように変形できるのかがわかりません。

精講 an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 t2 = pt+α の解を α, β として,次の2つの場合があり ます。 (I) αキβ のとき an+2=(a+β)an+1 -αBan より an+2aan+1=B(an+1-αan) ① an+2-Ban+1=α (an+1- Ban) .... ② ①より,数列{an+1-aan} は,初項a2-αa,公比βの等比数列を表すので, an+1-aan = βn-1 (azaar) ...... ①’ 同様に,②より, an+1-Ban=αn-1 (a2-Bas) ......②' ①'−②'より, (B-α) an=β"-1 (azaa】)-α"-1 (a2-Bas) βn-1 (a2-aas)-α”-1 (az-Bas) (8)AST B-a 10 注 実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く、その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき anti=ran型 an= an+2-dan+1=α (an+1-αan) .. an+1-dan=an−1 (az-aas) ③ つまり、数列{an+1- Qan}は,初項 α2-αa,公比αの等比数列. ③ の両辺を αn+1 でわって, an+1 an a2-aa₁ 22.8 an+1 an a² n≧2のとき, An n-1 > k+1 k=1\ak- ak+1 ak k = n-1 - a2-aa1 a² k=1 よって, and=(n-1).《2-001 ‥. an=(n-1) α”-2a2- (n-2) α"-' ai n-1 AM) 135 ď²5 (85) (1)

この写真の参考(その1)の別解についてなのですが、 ①赤線部分の4-2α=0、-2β+α=0となる理由がわかりません。 ②また、この解き方がどのような仕組み、考え方で解いているのかわかりません。

基礎問 3 188 124 2 項間の漸化式 (Ⅲ) (2)=1, an+1=3a+4n (n≧1) で表される数列がある。 (1) an+2n=bm とおくとき. b. bs41 の間に成りたつ関係式を 求めよ. (2) bm を求めよ. 開 124 = pantan+r (p≠1) • ① 型の漸化式の解き方には 3通りがあります。 Ⅰ. an+an=b, とおいて, b+i= pbs+g 型になるように、αを決める 精調 II. a.tan+β= b, とおいて, bsta=rb 型になるように、α.βを決める 番号を1つ上げて as+z= pas+g(n+1)+r② を用意して ②①を計算し、 α+1-α = b とおいて、 階差数列の考え方にもちこむ この問題では,Iを要求していますので、II. の解答は を見て下さい 解答 (1) an=b-2nan+1=5x+1-2(n+1) だから, これらを与式に代入して bn+1−2(n+1)=3(bm-2n) +4n …. b+1=36+2 (2) 6 +1=36+2 より 6 +1+1=3(b+1) ゆえに, 数列 (6+1} は, 初項 b1+1= (a,+2)+1= 4, 公比3の等比数列. よって, bm+1=4.3"-1 bn=4.3"-1-1 an-bn-2n-4-3-¹-2n-1 (3) (3) an を求めよ. 参考 (その1)(ⅡIの考え方で) an+an+B=b. とおくと, an-bn-an-B, anti-ba+1-a(n+1)-B 与えられた漸化式に代入して bs+1-α(n+1)-β=3(bm-an-β)+4n ○ ポイント b₂=4.3"-1 よって、a=bュー2n-1=4-3-2n-1 E 注 an+an+B = b, とおく理由は, 漸化式の中の4n がじゃまで、こ と an + に分配することによって4n を視界から消すことを考 えているからです。 bn+1=36+(4-2a) n-2β+α ここで, 4-2a=0, -28+α=0 をみたす α, βは,α=2, 8=1 よって, +2n+1= b, とおけば, bn+1=3bs, bs=4 ∴. bm+2=8.3-1 次に, n ≧2のとき (その2) (Ⅲの考え方で) [x+1=3an+4nⓘ より,x+2=30si+4(n+1) ② ②-① より, an+2an+1=3(4s+1-a)+4 ここで, an+2a=b とおくと bat=30+4,b=a2-a=6 (42=3a+4=7) よって, bn+1+2=3(b,+2), b1+2=8 よって R-1 an= a₁ + Σ b=1+ (8-3-¹-2) A-1 n-1 A-1 b=8-3-1-2 a=3a+2 より a=-1(123 =1+8.3g-11-2(n-1)=4-3"-1-2m-1 = paste [ 123 121 ポイント 1 121 189 117 118 これは,n=1のときも含む. Ⅲの考え方の解答は,左端に示したように.12.3°の3つの部 分から成りたっています。 それぞれの部分はすでに学習済みです。 漸化式は,おきかえによって、最終的に次の3型のい ずれかにもちこめれば一般項が求まる Ⅰ. 等差 Ⅱ. 等比 Ⅲ. 階差 7 (a) 第7章

最後の図の部分、Cのところが直角じゃないことってありえないのですか？なぜここが直角になると分かるのか教えていただきたいです🙇‍♂️ 長い問題ですみません。よろしくお願いします。

第5問 (選択問題)(配点20) 平面上の点0を中心とする半径1の円周上に,3点A,B,Cがあり, 1/12/3およ ーおよび OC = OA を満たすとする を 0 t1を満たす OA OB=-- 実数とし,線分 AB を t : (1-t)に内分する点をPとする。また,直線OP上 に点Qをとる。 (1) cos ∠AOB= 第3問~第5問は,いずれか2問を選択し, 解答しなさい。 となる。 エ また,実数kを用いて, 0QkOP と表せる。したがって 0Q= I OA+ CQ = カ OA+ キ OB キ アイ kt 3 (kt - 1) ウ である。 OA と OP が垂直となるのは, t= オ OB 3533 ク ケ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。) 1 (k-kt) そのときである。 (k-kt+1) (2) (kt+1) (k-kt-1) (数学II・数学B 第5問は次ページに続く。) BATAN 以下, tキ (2) OCQ が直角であることにより, (1) のんは k=- となることがわかる。 ク ケ • 0 < t < ス ク ケ 平面から直線OA を除いた部分は,直線OA を境に二つの部分に分けられ る。そのうち, 点Bを含む部分を Di, 含まない部分をDとする。 また,平 面から直線OB を除いた部分は,直線OB を境に二つの部分に分けられる。そ のうち, 点Aを含む部分を E1, 含まない部分を E2 とする｡ ク ケ コ 20 OCQ が直角であるとする。 t- Ł シ ならば、点Qは <t < 1ならば、点Qは ス の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい｡) D1 に含まれ,かつE1 に含まれる ① DLに含まれ,かつE2 に含まれる D2 に含まれ,かつE」に含まれる D2 に含まれ,かつE2 に含まれる (数学ⅡⅠ・数学B 第5問は次ページに続く。)

至急ですm(__)m(2)の線を引っ張ったところが問題が分かりません。

212 階差数列を利用して,次の数列{an}の一般項を求めよ。 (1) 1, 5, 13, 25, 41, 4 r 112 16. この数列の階差数列は 4.8. 12/16 その一般項をnとすると bn = 14 + (n-1) 4 FZ 1 3 2 0 4 2 An= a₁ + 24k = 1 + 4² = (n) ^ = K²2R²=₂+1 An= 24²-24+1 2-24111 (2)* 5, 7, 11, 19, 35, 24 AYE この階差数列は 6351 214. do 16.. その一般項をnとすると "bn=2" T² & 3²₁" d) よってここのとき An = a₁ + 1/27/1²/²1/3 0 1 ² = 5 + 2 (2 + 1 - 1) / 3211 213 # (1) S an2+3 初頃は9.5である中でよう co=1/12 = 199 € (22 成り立つ。 40 2 1 = + 1/4 =1²7 13/an=2²+3