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xの方程式 4+ (a+1)2x +1 +α+ 7 = 0 が異なる2つの正の解をもつよう
な定数αの値の範囲を求めよ。
(ReAction 文字を置き換えたときは、 その文字の範囲を考えよ 例題177)
思考プロセス
t=2^ とおく
4*+(a+1)2x+1+α+ 7 = 0 が
異なる2つの正の解をもつ
t+2(a+1)t +α+ 7 = 0 が
どのような解をもつか?
対応を考える 1つのtの値に1つのxの値が対応
例題179 との違い... f(t) =αの形にすると, 式が複雑になることに注意。
...
解 4% + (a+1)2+1+α+7= 0 ･･･ ① とおく。
例題 2x =
174
= t とおくと, x > 0 より t>1であり, ① は
t + 2 (a + 1)t +α+ 7 = 0 ... ②
ここで, t = 2 を満たすx は, t>1であるtの値1つに
対して x>0であるxの値1つが存在する。
よって, xの方程式 ① が異なる2つの正の解をもつのは,
tの2次方程式②が1より大きい異なる2つの解をもつ
ときである。
y y=f(t)|
2にそろえ, 2 = t
とおく。
y
t=2*
IA
-(a+1)
2次方程式の解と係数の
関係
f(t) = f+2(a+1)t + α +7 とおくと,
y=f(t) のグラフがt軸と t>1の範
囲で2点で交わるのは,次の [1]~[3]
を満たすときである。
○
1
[1] f(t) = 0 の判別式をDとすると
D> 0
D
= (a+1)-(a+7) = a + α-6
4
+α-6>0より
よって a <-3, 2 <a
(a+3) (a-2) > 0
③
[2] y=f(t)の軸が t>1の部分にある。
y=f(t) の軸は t = -(a+1) であるから
-(a+1)>1
よって
a<-2
[3] f(1) > 0 であるから
f (1) = 3a+10 > 0
10
よって a> -
..⑤
3
a+β = -2(a+1)
aẞ = a+7
を利用して
判別式 D0
(a-1)+(-1)>0
(a-1)(-1)>0
からαの値の範囲を求め
てもよい。
② を
t°+2t+7 = α(−2t-1)
と分離して, y = t + 2t + 7
とy=α(-2t-1) が
t>1で異なる2つの共
有点をもつようなαの値
の範囲を求めてもよい。
⑤ より, 求めるαの値の範囲は
10
<a<-3
3
10
3
3
-2
2
