例題 169 指数方程式の解の個数
方程式 4x-2x+2 + k = 0 の異なる実数解の個数を調べよ。
Action f(x)=hの実数解は, y=f(x)のグラフと直線y=kの共有点を調べよ
・12x=t(>0) とおき,与式をf(x) -
) =kの形に変形する。
解法の手順・
2xの値とtの値の対応を考える。
3|y=f(t) のグラフを利用して, 実数解の個数を調べる。
解答
与えられた方程式を変形すると
-(2x)2 +4.2% = k ... ①
2* = t とおくと, t>0 であり
- t² + 4t = k
ここで,xの各値に対して tがただ1つ求まり、逆にt> 0
を満たすtの値に対してもxの値が必ず1つ定まるから,
方程式 ① の異なる実数解の個数は,t の方程式②のt> 0
における実数解の個数と一致する。
ここで, f(t)= t + 4t とおくと
f(t)=-(t-2)2 +4
方程式f(t)=kのt> 0 を満たす実数
解は, y = f(t)(t> 0) のグラフと直線
y=kの共有点の座標である。
したがって、右のグラフより
求める実数解の個数は
k> 4
のとき 0個
k=4,k≦0のとき 1個
0<k<4
のとき 2個
4
O
_y=f(t)
y=k
→例題167, IA115
2 4
4°= (22)*= (2) 2
2x+2 = 2.22 = 4.2x
これらのことは, グラ
フからも明らかである。
t=2
O
1対1
x
10 2 4 t
(もとの方程式の実数解xの個数)=(f(t)=kの正解tの個数)
20個
1個
2個
1個
とくに, k=4,k=0 の
とき共有点は1個である
ことに注意する。
Pointh 方程式f(t)=kの実数解の個数
例題169 では,2" tと置き換えたが,正の数の値とxの値は1対1に対応するから,
y=f(t)(t> 0) と y=kの共有点の個数がそのままもとの方程式 ① の実数解の個数
となる。
=(y=f(t) (t> 0) と y = k の共有点の個数)
4章
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指数関数
