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(エ) 右の図①のように, 求める線分が対応する辺になるような相似な三角
形をつくって考えてみます。
辺BAの延長と線分FEの延長との交点をP, DCの延長と線分
EFの延長との交点をQとします。
まず,点Eは辺ADの中点であるから AE:ED = 1:1,BF:FC=3:1
より FC=①とすると, BF=③, AD=BCであるから, AE=ED=②
と表されます。 また, CG: GD=2:1よりCG=2 とすると,GD=
1. CD = AB であるから, AB=3 と表されます。 次に, △PAEと△PBF
において, 共通な角より, APE=∠BPF･･・･ ①, AD//BCより, AE//BF
であり,平行線の同位角は等しいから, <PAE=∠PBF... ②, よって, ①,
②より2組の角がそれぞれ等しいから, PAESPBF であり,相似
比は AE: BF =②:③であるから, PA: PB=2:3,AB= 3 より PA
6 PB=9と表せることがわかります。
同様に、△QCF △ QDEであるから, CF : DE = 1: 2 より QC:QD=1:2, CD=3であるから QC=3と表
せることがわかります。 さらに, △PBH と △QGH において, 対頂角は等しいから,∠PHB=∠QHG･･・･ ③. AB//DC
より PB//GQ であり, 平行線の錯角は等しいから,∠PBH=∠QGH･･･ ④ よって, ③, ④より. 2組の角がそれぞ
れ等しいから, PBH △QGH であり, PB=9QG=QC+CG=3 +2=5 より,相似比はPB : QG = 9:5が
わかります。 よって, BH: HG = 9:5 と求められます。
〔別解〕 右の図のように, 辺ADの延長と線分BGの延長と
の交点をPとして考えてみます。
△BCG と△PDG において, 対頂角は等しいから<CGB=
図②
図①
B
13
A
E
/H
F 1
○
H
2
P
N
G
2
2
G
