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例 79 2変数関数
x,yが実数の値をとりながら変化するとき!
P = x² − 4xy+5y² + 2x-2y+7Laki
思考プロセス
魚
円千
の最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。
例題 77との違い
見方を変える
fxとyの関係式がないから, 1文字消去できない。
lxとyがそれぞれ自由に動くから考えにくい。
nime
KONZO5NES SOJORT
① yをいったん定数とみるxの2次関数 P=x2+(yの式)x+(yの式)
(yを固定する)
の最小値をyの式で表す。
② yを変数に戻す
( v を動かす)
Action>> 2変数関数の最大・最小は,1変数のみに着目して考えよ
Pをxについて整理すると
(= 24-09
=(yの式)の最小値を求める。
P=x2-4xy+ 5y2 + 2x - 2y +7
=x2-2(2y-1)x + 5y² - 2y + 7
={x-(2x-1)}2-(2x-1)2 +5y2-2y +7
= (x-2y+1)2 + y^+ 2y + 6
= (x-2y+1)2 +(y+1)^-1 + 6
= (x-2y+1)2 + (y + 1)2 +5 -
x, y は実数であるから
(x-2y+1)^ ≧0, (y+1) ≧0
よって (x-2y+1)^2+(y + 1)2 + 5 ≧ 5
等号が成り立つのは
のときである。
これを解くと
したがって, Pは
x-2y+1=0 かつ y +1 = 0
201
x = -3, y = -1
25.
x=-3, y = -1 のとき 最小値 5
1:0A
xについての2次式とみ
平方完成する。yは
定数とみて考える。
yを定数とみたときの最
①･･小値m は
m= = y2 + 2y + 6
dioni
この最小値を考えるため,
さらに平方完成する。
( 実数 ) ≧0
2 1030
Pの2つの()内が
0のとき, 最小値をとる。
(x−2y+1)² + (y+1)² +5
||
||
0
y+1=0 より y = -1
これを x-2y+1 = 0 に
代入してx=-3
■int…. 実数の性質
X,Y が実数の値をとりながら変化するとき,
X' ≧ 0, Y2 ≧ 0 であるから, X2+Y2≧0が常に成り立つ。
また,X2+Y2=0 となるのは,X=Y=0のときに限られる。身
(実数) ≧0
