重要 例題 35 不等式の証明の拡張
一
Ca|<1,|6|<1, |c|<1 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) ab+1>a+b
(2) abc+2> a+b+c
C
CHART @ OLUTION
似た問題
MOITUIO
① 結果を使う ② 方法をまねる
(1) 大小比較は差を作る方針。
(2) (1) の2文字 (a,b)から3文字 (a,b,c) に拡張された問題。
1 の方針で、 (1) の結果を2回使って証明する。
|a|<1, |6|<1 から |ab|< 1 であることに注目。
解答
(1)
(ab+1)-(a+b)=(6−1)a-(6-1)=(a-1)(b-1)
|a|<1,|6|<1 であるから
a-1<0, b-1<0
(a-1)(6-1)>0 すなわち (ab+1)-(a+b) > 0
よって
したがって
ab+1>a+6
lab/<1-1-
(2) |a|<1,|6| <1 であるから
|ab|<1, |c|<1 であるから, (1) を利用して
(ab)c+1>ab+c
0=(xx+x(s
よって
abc+2>ab+c+1 +c)
(1) から
(ab+1)+c>(a+b)+c
TOTED?<
ゆえに
abc+2>a+b+c
別解 (abc+2)-(a+b+c)=(bc-1)a+2-b-c
|b|<1,|c|<1 であるから
|bc|<1
よって
bc-1<0
|a|<1 であるから a <1
ゆえに
( bc-1)a> (bc-1)・1
よって
( bc-1)a+2-b-c>bc-1+2-b-c
=(6-1)(c-1)
|6|<1,
|c|<1 であるから 6-1<0, c-1<0
ゆえに
(b-1)(c-1)>0
したがって
abc+2>a+b+c
LOWEE
B612
大小比較差を付
XOMP-1<a<1, -k
① 結果を使う
( 1 ) の不等式で a を
bをcにおき換え
ab+1>a+bの
cを加える。
◆大小比較差を作
<>-1<bc<1
361006
α<1 の両辺に、
bc-1 を掛ける。
199
is
Jeless
