1次の条件をみたすとき,関数 f(x) は区間Iで一様連続であるという。
任意のe>0に対して,ある6>0を定めると,*1- 22| <6であるような
すべての1,22 €Iに対して,|f(z1) - f(z2)| <eが成り立つ。
1
はI= (0,1]で一様連続でない。このことの理由を説明せよ。
(2) f(x) が有界閉区間Iで連続ならば,f(z) はIで一様連続であることが知られている
(この事実の証明は解答に含めなくてよい).このことから,f(z) がI= [a, 6] で連続
ならば,△をIの分割
A:a= £o < I1 < 22 <·…くEn = b
とし,さらに M;
max{f(z) | ;-1Sa<x;}, m;
min{f(z) | ;-1 sasai}
三
三
(i= 1,2, ,n), |A| = max{z; - 2i-1 |i= 1,2, ,n} とするとき,
n
n
S(A) = EM(z;- i-1), S(A) = >m(z; - Ti-1)
i=1
i=1
について, lim(S(A) - S(4)) = 0, つまり,任意のe>0に対して,ある6>0を
|A|→0
定めると,|A|<6であるようなすべてのIの分割Aに対して,|S(A) - S(A)| < e
が成り立つことを示せ。
