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重要 例題99 2次方程式の共通解
基本94
つように定数kの値を定め, その共通解を求めよ。
2つの方程式の共通解をx=αとおいて, それぞれの方程式に代入 すると
0, +a+k=0
20°+ka+4=0
これをa, kについての 連立方程式とみて解く。
のから導かれるk=-e"-αを①に代入(kを消去)してもよいが, 3次方程式となって
数学Iの範囲では解けない。この問題では, 最高次の項である α' の項を消去することあ
考える。なお, 共通の 「実数解」 という 問題の条件に注意。
CHART 方程式の共通解 共通解をx=αとおく
解答
共通解をx=Qとおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
0,
20°+ka+4=0
Q2+a+k=0
の
(k-2)α+4-2k=0
(k-2)(α-2)=0
(の項を消去。この考え
方は,連立1次方程式を加
減法で解くことに似ている。
DO-2×2から
ゆえに
よって
k=2 またはα=2
[1] k=2のとき
2つの方程式はともにx+x+2=0となり, この方程式の判
別式をDとすると
D<0であるから, この方程式は実数解をもたない。
ゆえに, 2つの方程式は共通の実数解をもたない。
[2] α=2のとき
(数学Iの範囲では、
x+x+2=0 の解を求める
ことはできない。
D=1°-4-1-2=17
のから
22+2+k=0
よって
このとき, 2つの方程式は 2x°-6x+4=0, x?+x-6=0
すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 となり,
k=-6
0(a=2をO に代入してもよ
い。
解はそれぞれ
るさケ0
x=1, 2; x=2, -3
よって, 2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2をも
つ。
以上から
注意 上の解答では, 共通解x=αをもつと仮定して αやんの値を求めているから、 水の
た値に対して,実際に共通解をもつか, または問題の条件を満たすかどうかを確認
しなければならない。
k=-6, 共通解は x=2
