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基本例題 30 線分の垂直に関する証明
△ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。
(1) OA+OB+OCOH である点Hをとると,Hは△ABCの垂心である。
基本 23
[ 類 山梨大 ]
基本68
(2) (1) の点Hに対して, 3点 0, G, Hは一直線上にあり GH=20G
直角三角形である場
指針 (1) 三角形の悪心とは、三角形の各店舗から利団またはその延長に下ろしたの
ある｡
そうでかい
.....
AH ¥0, BC = 0, BH = 0, CA ≠ 0 のとき
AH⊥BC, BHICA⇔AH・BC=0, BH・CA=0
であるから 内積を利用して, A 〔(内積) = 0] を計算により示す。
Oは△ABCの外心であるから, |OA|=|OB|=|OC|も利用。
<A≠90%<B ¥900
0
<C=900
• A+ 90° <B +90%[=
A
直角三角形のときは
∠C=90° とする。
このとき,外心は辺AB」
にある ( 辺ABの中点)。
MBC = OC-OB (分割)
△ABCの外心 0 →
OAOBOC (数学A
検討
外心,重心,垂心を通る直
(この例題の直線OGH) を
オイラー線という。
ただし, 正三角形は除く。
(1) から
OA + OB+OCOH
CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用
解答
(1)∠A=90°,∠B=90° としてよい。
このとき,外心は辺BC, CA 上
にはない。
OH = OA+OB+OGから
AH-OH-OA=OB+OC
ゆえに AH・BC
=(OB+OC) (OC-OB)
= |OC|-|OB|²=0
引っ張る
同様にして
(BH･CA=(DA+OC)・(OA-OC)
=10A-LOCP-0
また①から AH=OB+OC+0,_BH=OA+OƇÔ
よって, AH = 0, BC ¥0, BH = 0, CA ±0であるから
AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
(2) OG =
OA+OB+OC
3
-1/30H から OH=3OG
ゆえに GH OH-OG=2OG
よって, 3点 0, G, H は一直線上にあり
B
内積
GH=2OG
確認できる
