Question

さこ

(1)の解答の①の記述についてです。
この記述がないと「ベクトルAHとBHの大きさがない」から「AHとBC、BHとCAがともに垂直であると断言できない可能性がある」ことになってしまうのは理解しています。
ただこの「三角形が直角三角形のときは、外心OがBC、CA上にあってはまずいから、角Cを90度としよう」という流れがなんか都合よく聞こえてしまいます。

①の仮定が(1)を示す上で影響がない理由を自分でもぼんやり勘づいている気がするのですがスッキリ納得できるような言葉が出てきません。

どなたかわかりやすく説明できないでしょうか🙏

428
00000
基本例題 30 線分の垂直に関する証明
△ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。
(1) OA+OB+OCOH である点Hをとると,Hは△ABCの垂心である。
基本 23
[ 類 山梨大 ]
基本68
(2) (1) の点Hに対して, 3点 0, G, Hは一直線上にあり GH=20G
直角三角形である場
指針 (1) 三角形の悪心とは、三角形の各店舗から利団またはその延長に下ろしたの
ある｡
そうでかい
.....
AH ¥0, BC = 0, BH = 0, CA ≠ 0 のとき
AH⊥BC, BHICA⇔AH・BC=0, BH・CA=0
であるから 内積を利用して, A 〔(内積) = 0] を計算により示す。
Oは△ABCの外心であるから, |OA|=|OB|=|OC|も利用。
<A≠90%<B ¥900
0
<C=900
• A+ 90° <B +90%[=
A
直角三角形のときは
∠C=90° とする。
このとき,外心は辺AB」
にある ( 辺ABの中点)。
MBC = OC-OB (分割)
△ABCの外心 0 →
OAOBOC (数学A
検討
外心,重心,垂心を通る直
(この例題の直線OGH) を
オイラー線という。
ただし, 正三角形は除く。
(1) から
OA + OB+OCOH
CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用
解答
(1)∠A=90°,∠B=90° としてよい。
このとき,外心は辺BC, CA 上
にはない。
OH = OA+OB+OGから
AH-OH-OA=OB+OC
ゆえに AH・BC
=(OB+OC) (OC-OB)
= |OC|-|OB|²=0
引っ張る
同様にして
(BH･CA=(DA+OC)・(OA-OC)
=10A-LOCP-0
また①から AH=OB+OC+0,_BH=OA+OƇÔ
よって, AH = 0, BC ¥0, BH = 0, CA ±0であるから
AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
(2) OG =
OA+OB+OC
3
-1/30H から OH=3OG
ゆえに GH OH-OG=2OG
よって, 3点 0, G, H は一直線上にあり
B
内積
GH=2OG
確認できる

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みなみ

疑問点がいまいちピンと来ないのですが…

A,B,Cの対称性からどの角を90°でないとしてもよい。
この場合はCに90°の可能性を残しているだけです。
Cが90°ならHは直ちに垂心。
Cが90°でないなら本文の話からHは垂心といえる。

さこ

Cが90度ならHが直ちに垂心になるのは何故ですか？

みなみ

図を描くなり想像したりしてみましたか？

さこ

cが90度の時外心と垂心は一致しますか？

みなみ

しないです。
図を描いてください。

さこ

しないですね！理解できました。ありがとうございます！