245 x, yは正の整数で, xは素数である。このとき,方程式 2:xy-x-yー22 = 0 を満たす x、
組をすべて求めよ。
ーy= 22
2xy-x-yー22 = 0 より
両辺にを足すと 2(ー()
(2ェ-1(y-)-
45
共通因数y--
2
る。
45
4整数の積の形に
2を掛ける。
2
よって
(2x-1)(2y-1) = 45
両辺に2を掛けると
,yは正の整数より,2x-1, 2y-1も正の整数であるから
(2x-1, 2y-1) = (1, 45), (3,15),(5, 9), (9, 5),
*1は素数でも合
x,yは正の整数で, xは素数であるから
ない。
246 方程式 x- 2.xy+2y°-2.x+8y-7= 0 を満たす整数 x, yの組をすべて求めよ。
-2xy+2y° -2.x+8y-7=0 より
-2(y+1)x+2y° +8y-7=0
(x-y-1)°+ y° +6y-8=0
(x-y-1)°+(y+3)° = 17|
x, yは整数であるから, x-y-1, y+3は整数である。
よって
ゆえに,(x-y-1)?, (y+3)° はそれぞれ整数の平方数であるから
(x-y-1)? = 1,(y+3)? = 16
(x-y-1)' = 16, (y+3)° = 1
(ア)(x-y-1)?= 1, (y+3)° = 16 のとき
417 = 1+16
1=(±1)°
16 = (土4)°
または
y=-7, 1 より
*y+3= ±4
イ)(x-y-1)' = 16, (y+3)° =D 1のとき
y=-4, -2 より
*y+3= ±1
(ア), (イ)より
247 +2n-35 が整数となるような自然数 nを求めよ。
+2n-35 =m (mは0以上の整数)とおく。
両辺を2乗すると
(n+1)- m'= 36 より
n"+2n-35
可能性がある
m20とする
n°+2n-35 = m"
(n+1-m)(n+1+m) = 36
ここで,nは自然数, mは0以上の整数であり, (n+1)°-m°>0 より
n+1> m であるから, n+1ーm, n+1+mは自然数であり
n+1-mSn+1+m
ミ
