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演習 例題129 2つの2次関数の大小関係(1)
2つの2次関数f(x)=x°+2ax+25, g(x)=-x+4ax-25 がある。次の条件が
成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。
)すべての実数x に対して f(x)>g(x) が成り立つ。
(2) ある実数xに対して f(x)<g(x) が成り立つ。
201
[(1) 広島修道大)
p.198 基本事項 2), 基本 113
指針> y=f(x), y=g(x) それぞれのグラフを考えるのでは
なく,F(x)=f(x)-g(x) とし, f(x), g(x) の条件
をF(x) の条件におき換えて考える (か.198 参照)。
(1) すべての実数xに対して F(x)>0
(2) ある実数xに対して F(x)<0
となるaの値の範囲を求める。
ソ=F(x)
y=F(x)
3章
解答
F(x)=f(x)-g(x) とすると
F(x)=2x°-2ax+50
検討」
1.「ある x について が成
り立つ」とは,●を満たすx
が少なくとも1つある, とい
うことである。
2.2次方程式 F(x)=0 の判
別式をDとすると,
=-)-+50
2
a
2(x
2
(1) すべての実数xに対して f(x)>g(x) が成り立つことは,
すべての実数x に対して F(x)>0, すなわち
[F(x)の最小値]>0が成り立つことと同じである。
a°
=(-a)-2-50=a-100
a
F(x) はx=
で最小値 -
2
+50 をとるから
2
(1) [F(x)の最小値]>0
の代わりに D<0
a?
+50>0
(p.171 基本事項6利用。
常にF(x)>0=→ D<0)
(2) [F(x)の最小値]<0
の代わりに D>0
よって
(a+10)(a-10)<0
ゆえに
-10<a<10
(2) ある実数xに対して f(x)<g(x) が成り立つことは,
ある実数x に対して「F(x)<0, すなわち [F(x) の最小値]<0
が成り立つことと同じである。
(b.161 基本事項2利用。
ソ=F(x) のグラフの頂点
がx軸より下にある。)
によって解くこともできる。
I よって
a°
-+50<0
2
(a+10)(a-10)>0
a<-10, 10<a
ゆえに
よって
r+2kx+2, g(x)=3x°+4x+3 がある。次の条件が成り
4 2次関数の関連発展問題
