-
![]()
練習問題 45
(1) 6で割ると4余り, 7で割ると1余る自然数 x を考える。
xは6で割ると4余る自然数であるから, xは自然数 m を用いて, x=ア m-イ と表すことができる。
ウ n-
I
と表すことができ
また, xは7で割ると1余る自然数であるから, xは自然数n を用いて, x=[
これら2式より
カ
... (*)
m=n=
余りからの整数の決定
ア (m-
ア
解答
Key 1
「ア
m=ウn-
は方程式 (*) を満たすから,
ウカ
カ 1) =
と
は互いに素であるから,m-
が成り立つ。
したがって, x を0以上の整数kを用いて表すと, x=クケ+コサとなる。
オ
(2) (1) の結果を利用すると, 6で割ると4余り, 7で割ると1余る3桁の自然数は全部でシス 個
その中で最小の自然数はセソタ,最大の自然数はチツテである。500
(1)xは6で割ると4余る自然数であるから
p001
x = 6m-2 (ml)
と表すことができる。
また,xは7で割ると1余る自然数であるから
x=7n-6 (nは自然数)
と表すことができる。
これら2式より 6m-2=7n-6
よって
m=n=4は方程式 (*) を満たす。 すなわち
6m=7n-4
... (*)
6.4 7.4 4.
... (**)
de
カキの倍数となる。
ab
(*), (**) の辺々を引いて 6(m-4)=7(n-4)
ここで, 67は互いに素であるから,m-4は7の倍数である。
ゆえに, m47k (hは0以上の整数) とおけるから
23-(2-1)=22 (個)
そのうち最小の自然数は 42･2+22 = 106
また、最大の自然数は 42.23 +22 = 988
m = 7k+4
したがって, x を0以上の整数kを用いて表すと
x=6m-2=6(7k+4)-2 42k+22
(2) x 3桁の自然数とすると 100 ≦x≦999 MM 1
(1) の結果より 100 ≦ 42k +22 999
これを解いて
1.8･･･ ≦k≦ 23.2･･･
んは整数であるから
2 ≤ k ≤ 23
130 & 9
したがって6で割ると4余り 7で割ると1余る3桁の自然数の個数
は全部で
100
fiatrisdictas
6で割ると4余る自然数x
表し方は、他に
x=6m+4(mは0以上の整数
x=6m-8(mは2以上の整数
などがあるが,が自然数と
う条件を満たすのは
x=6m-2だけである。
(*) で m = n とおくと,
6m=7m-4 となり m=4
m≧1より
7k+4≧1
3
よって k≧-
んは整数であるから
k≥0
攻略のカギ①
By ax+by=c の整数解は、 まず1組の解を見つけよ 24 (p.83)
1次不定方程式 ax+by=(a とは互いに素)の1組の整数解をx=b, y=gとすると,
この方程式の整数解は整数nを用いて
ta
