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なる
称となる。
f(x)
x
0で
よ。
大)
1
e
190
例題191 最大・最小の図形への応用〔1〕･･・ 面積
曲線 y=logx 上の点P(t, logt) (0<t < 1) における接線とx軸, y
軸との交点をそれぞれ Q, R とおく。 また、原点を0とするとき, △OQR
の面積の最大値およびそのときのtの値を求めよ。
OVE
139
図をかく
右の図の△OQR の面積の最大値を求めるために,
y' =
△QQRの面積をtの式(=S(t)) で表したい。
I.点P(t, logt) における接線の方程式を求める。
ⅡI. 点Q, R の座標を求める。
II. △QQR = S(t) を求め,0 <t <1における最大値を求める。 O
Action》長さ・面積・体積の最大・最小は,1変数で表して微分せよ
程式は
1
であるから,点P(t, logt) における接線の方
y+logt = -
----(x-1) --- Ⓡ
t
① に x = 0 を代入すると
x
y=1-logt
y=0を代入すると x=t-tlogt
よって
Q(t-tlogt, 0), R(0, 1-logt)
0<t<1のとき, t-tlogt> 0, 1-logt > 0 であるから
△OQRの面積をS(t) とおくと
s(t) = 1/1/20
1/1OQ.OR=1/12 (t-tloge)(1-log!)
-t(1-logt)²
S'(t)=1/12/{(1-logt) +t.2(1-logt). (-1)} an
t =
=
2
S'(t)=0 とおくと
0<t < 1 の範囲で
1
･(logt-1) (logt+1)
e
S(t) の増減表は右の
ように
したがって
t
S' (t)
S(t)
e
0
t = のとき 最大値
:
+
e
e
0
2
e
:
1
[頻出]
291 **
\43
R y=-logx
4+1
\P(t, –logt)
S(t) 1
Q
y=f(x) 上の点
(t, f(t)) における接線の
方程式は
y-f(t)=f'(t) (x-t)
\43
Ry=-logx
OP(ty-logt)
S(t)
OQ
(2) = 2/(1-10g-1) ²
log.
|-|-= {1-(-1)}²
e
191 曲線 y = e-2x 上の点A(a, e-2a) での接線とx軸、y軸との交点をそれぞ
れB, C とおく。 ただし, a≧0 とする。
(1) 原点を0とするとき △OBCの面積S(α) を求めよ。
(2) S(α)の最大値およびそのときのaの値を求めよ。
(南山大)
p.371 問題191
5章 16いろいろな微分の応用
353
