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また
基本例題
X-00 X
1100
針> 前ページの参考事項 ①~③を参照。 次の3パターンに大別される。
① x軸に平行な漸近線
② x軸に垂直な漸近線
③ x軸に平行でも垂直でもない漸近線
x3
x²-4
186
·=x+
lim=lim2+
X→∞
(有限確定値)なら、直線y=ax+bが漸近線。
(x→∞をx→
n
∞とした場合についても同様に調べる。)
(1) ② のタイプの漸近線は,分母=0 となるxに注目して判断。 また, 分母の次数>
分子の次数となるように式を変形すると, ③ のタイプの漸近線が見えてくる。
(2) 式の形に注目しても, ①, ② のタイプの漸近線はなさそう。 しかし, ③ のタイプの漸
近線が潜んでいることもあるから,!で示した極限を調べる方法で, 漸近線を求める。
lim_y = ±∞,
x2±0
4x
x²-4
曲線の漸近線
(2) y=2x+√x²-1 の漸近線の方程式を求めよ。
314 参考事項 ①~③
lim (y-x) = lim
x8
√√x²-1
x
lim Y = lim (2+
X-8
limy または limy が有限確定値かどうかに注目。
······y → または →∞ となるxの値に注目。
lim
4x
2
x→±∞ X-4
lim y=±∞ (複号同順)
x-2±0°
4
x
以上から, 漸近線の方程式は x=±2, y=x
(2) 定義域は,x-1≧0から x-1, 1≦x
limy = ± ∞ となる定数」の値はないから, x軸に垂直な漸
x-p
→分数のときだけ?
近線はない。
定義域は, x2-4≠0 から x≠±2 漸近線(つまり極限)を調べ
やすくするために,
分母の次数>分子の次数
の形に変形 (分数式では,
このような式変形が有効)。
= lim
lim(y-3x)=lim(√x2-1-x)=lim
よって,直線y=3x は漸近線である。
√x²-1)=1
x→±8
=lim(2+
x48
y -=α (有限確定値) lim(y-ax)=b
880 X
x →∞
lim (2-
X-8
4
x2
lim(y-x)=lim(x+√x2-1)=lim
X-8
よって,直線y=x は漸近線である。
以上から漸近線の方程式は
X²
-1
√√x²−1+x
=3から
1
x-√x2-1
x-∞ x-√ X'
y=3x, y=x
=0
(*)から
= 0
(1) x=-2y
3√3-
-2| 12!
-2/3 0 2√3 x
2
-3√3
y=x
x=2
(*) x→−∞であるから、
x<0 として考えることに注
意する。つまりx=x
(2)
YA
Ny=3x
I
0
315
-2
・1
x
6
2
