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基本例題26 比例式の値
(の{O)
y+z
2tx
x+y
のとき,この式の値を求めよ。
x
y
|基本 25
1章
CHART
SOLUTION
比例式は =kとおく…
等式の証明ではなく, ここでは比例式そのものの値を求める。
y+z_z+x_xty-k とおくと
y+z=xk, z+x=yk, x+y=zk
x
y
る
この3つの式からんの値を求める。辺々を加えると, 共通因数 x+y+zが両辺
にできる。これを手がかりとして, x+y+z またはんの値が求められる。求め
たたの値に対しては, (分母)キ0(xキ+0, yキ0, zキ0) を忘れずに確認する。
解答
分母は0でないから
nソ+2_2+x_x+y.
xyZキ0
*xyzキ0 → xキ0
ち50 同 かつ yキ0 かつ zキ0
-=k とおくと
x
y
る
y+z=xk
0, z+x=yk
2, x+y=zk 3
なぜ2す?-x+y+zが0になる可
能性もあるから, 両辺を
これで割ってはいけな
の+の+3 から
2(x+y+z)=(x+y+z)k →→
よって
(k-2)(x+y+z)=0
%=D2 または
[1] k=2 のとき
O, 2, ③ から
ゆえに
+y+z=0 式平の度画 ,す い
る判
. ④, z+x=2y
の, x+y=2z
y+z=2x
の-6 から
これを6に代入すると
yーx=2x-2y
よって
x=y
x+x=2z
よって
x=Z
したがって
x=y=z
x=y=z かつ xyzキ0 を満たす実数 x, y, z の組は存在する。←例えば x=y=z=1
[2]。x+y+z=0 のとき
や例えば、x=3, y=-1
ス=-2 など, xyzキ0
かつ x+y+z==0 を満
たす実数x, y, z の組は
存在する。
y+z=ーx
ムーソ+z_ニX_-1
よって
x
x
[1], [2] から, 求める式の値は
2, -1
INFORMATION
の~3の左辺は, x, y, zの循環形(x→y→z→x とおくと次の式が得られる)に
なっている。循環形の式は, 上の解答のように, 辺々を加えたり引いたりするとうま
くいくことが多い。 一般には, 連立方程式を解く要領で文字を減らすのが原則である。
nn OHI
