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定囲を複素す
57
重要 例題29
基本
不等式を満たす点の存在範囲(3)
O000O
るを0でない複素数とする。えが不等式2<z+
在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
16
S10 を満たすとき,点zが存
2
父と同値であ
重要5
16
<10 と不等式で表されているから, z+
指針> 2<z+
16
表す領域と」
0)
そこで,まず ●が実数 ←→ ●=● を適用して導かれる条件式に注目。…
は実数である。
2
なお,z+
の式であるから,極形式を利用する方法も考えられる。
→例
1章
解答
4
りのとき
は実数であるからa+-2
16
16
別解 z=r(cos0+isin0)
(r>0, 0S0<2x) とすると
16
z+
2
16
16
よって z+
ゆえにaパ+16z=z|zf+16z
16
え+
z
=z+
の実部。
16
cosé
よって
ゆえに
よって
したがって
[1] z=z のとき,zは実数である。
(2-2)(2f-16)=0
(z-2)(Iz|+4)(|a|-4)30
0=(2-2)9T-』2|(212)
+-ino
-11412-1
16
は実数であるから
1: (S)
=|2||
るちケ
( ま0=OA8)
2+
または
|z|>0から,
12|=-4は不適。
ス=2
2
APSBP
16
-=0 または sin0=0
2点A,B
二等分線お
分にある。
アー
r
16
が成り立つための条件はz>0 であり,このとき
すなわち r=4または0=0
または 0=π
[1] r=4のとき
2<z+
(相加平均)2(相乗平均) により
2+型22,216 -8
16
2+
=8cos0
(等号はz=4のとき成り立つ。)
2
16
すなわち,2<z+
は常に成り立つ。 よって, 2<8cos0<10と
-1Scos0S1から
え>0のとき,z+
16
<10を解くと, +16<10z から
ーScos 0<1
3(4)
[2] 0=0 のとき
(2-2)(z-8)S0
したがって
2S2S8
ニ=r+
2
[2] |2|=4 のとき, 点々は原点を中心とする半径4の円上に
r
16
10か
(16
=2
2
よって、 2Sr+。
ある。22=4° であるから
ら 2SrS8
16
ハ10から
2Sz+zS10
の左側
2Sz+
[3] 0=πのとき
る
4
16
2+
<0
の外部
15 5
ス+2
2
ゆえに
これは条件を満たさない。
以上から,左図の太線部分。
-4 0124
8
すなわち
1S(zの実部)5
[1], [2] から,点zの存在する範囲は,
右図の太線部分。
iを結ぶ線分上を動くとき、
2を0でない複素数とする。点z-→
29
吉の存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
が2点。
練習
