-
![]()
重要 例題29 不等式を満たす点の存在範囲 (3)
57
るを0でない複復素数とする。 aが不等式2<z+
在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
16
<10 を満たすとき, 点zが存
る
重要5
指針>2Sz+
16
ハ10 と不等式で表されているから, z+
16
は実数である。
る
そこで,まず
が実数→
を適用して導かれる条件式に注目。
なお,z+
の式であるから, 極形式を利用する方法も考えられる。
別解
1章
解答
16
a+
は実数であるから2+-2+
16
=a
別解 2=r(cos 0+isin0)
(r>0, 0s0<2元) とすると
16
16
よって +使%3Dz+
16
ゆえに 2f+16z=z|z}+16z
16
え十
2
16
cos 0
(z-z)|2f-16(zーz)30
(2-2)(aパ-16)=0
(z-2)(la|+4)(lal-4)30
または |2|=4
[1] =z のとき,zは実数である。
よって
ゆえに
+-)ine
16
よって
16
したがって
え+
は実数であるから
|>0 から,
a|=-4は不適。
ス=2
る
16
rー
=0 または sin0=0
r
2Sz+
16
が成り立つための条件はz>0であり,このとき
すなわち r=4または030
る
16
=8
または0=π
[1] r=4のとき
16
(相加平均)2(相乗平均)により
ス+
2,
16
(等号はz=4のとき成り立つ。)
=8cos0
2+
16
すなわち, 2<z+
は常に成り立つ。
よって, 2<8cos0<10 と
-1Scos0S1から
16
<10 を解くと, +16<10z から
1
Scos0s1
4
z>0のとき, z+
[2] 0=0 のとき
(z-2)(z-8)50
したがって
2SS8
16
16
-=r+
r
ス+
[2] |2|34 のとき, 点zは原点を中心とする半径4の円上に
16
=z
る
16
A10か
r
よって,2Srt+
ある。22=4° であるから
ら 2SrS8
2Sz+
16
<10から
2Sz+z<10
[3] 0=xのとき
4
ス+5--(+)<0
16
ス+2
15s5
ゆえに
2
X
これは条件を満たさない。
以上から,左図の太線部分。
O1 2
4
8
すなわち
1S(zの実部)5
[1], [2] から, 点zの存在する範囲は,
右図の太線部分。
10
iを結ぶ線分上を動くとき,
3
練習
えを0でない複素数とする。点zーーが2点。
00
4復素数と図形
