補充例題 118 合
(2) α'+が=c* ならば, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数であるこ
(1) nを7で割った余りが4であるとき, n°+2n+3を7で割った余りを求
文字はすべて整数とする。合同式を用いて, 次の問いに答えよ。
(1) nを7で割った余りが4であるとき, n'+2n+3を7で割った余りた。
めよ。
(2) α'+が=c" ならば, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数であ2、
とを証明せよ。
p.418, 419補足
C
HART OSOLUTION
整数の余りに関する問題
合同式を利用する
a=b (mod m), 0<6くm の形を作る。
(1) n+2n+3=6 (mod 7), 0名6く7 となれば, 求める余りは6
(2) 重要例題115と同様に, 背理法を用いて証明する。
解答
(1) n=4 (mod 7) のとき
n+2n+3=4°+2·4+3=27=6 (mod 7)
よって, 求める余りは 6
(2) 5を法として考えると,整数nが5の倍数でないとき,
n=±1, n=±2 のいずれかが成り立つ。
全 27=27-3-7=6 (mod1)
合 (mod 5) を省略するとき
は,必ずを断る。
よって
n°=1 または n=4
合n=±1 のとき パ=!
a+8=c° のとき, a, b, c がすべて5の倍数でないと仮定
すると, α', 6', c?はそれぞれ1または4と合同である。
[1] a=1, 6°=1 のとき
[2] a=1, 6°=4 のとき
[3] =4, 6°=1 のとき
[4] a=4, 6°=4 のとき
n=±2 のとき nパ=!
a+6°=2
a+6°=5=0
a'+°=5=0
a°+6°=8=3
であることに矛盾する。
ゆえに, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数である。
参考(2) [1]~ [4] の考察は, 右のような表にまと
めて答えてもよい。
りは0,2,3のいずれは
である。
4
4
1
a°
1
1
6?
1
4
a°+6°
PRACTICE…118
文字はすべて整数とする。合同式を用い
