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180 第3章 図形と方程式
S世いみ
図形の存在領域(1)
aがすべての実数値をとって変化するとき, 直線 y=2ax-α°
の通りうる領域を図示せよ。
例題
116
y=-4x-4 4 3y=4x-4
考え方 aの値を a=-2, -1, 0, 1, 2, …として, 同じ平面
上に y=2ax-a
さんの直線が右の図のように引ける。これらは,
(y切片)<0 でy軸に対称な直線群であり, より多く
の直線を引くと, ある特定の領域に集まることがわか
る。
……… (*)のグラフをかくと,たく
y=2x-1
0
ソ=0
x
-1
そこで, x 軸に垂直な直線上の点列 P. (1, 0),
Pa(1, 1), Pa(1, 2), P.(1, 3) について, 直線(*)がこ
れらの点を通るかどうか調べてみよう。
(i) P(1, 0) を通るか→(*)に x=1, y=0 を代入す
ると,0=2a-a? より, a=0 または a=2 のとき, 直線(*)は通る。
(i) Pa(1, 1) を通るか→(*)に x=1, y=1 を代入すると, 1=2a-a° より,
a=1(aは重解)のとき, 直線(*)は通る。
() Ps(1, 2) を通るか→(*)に x=1, y=2 を代入すると, 2=2a-a° より,
a°-2a+2=0 よって, a=1±V-1=1±i より,実数aは存在しない。
したがって,直線(*)は通らない。
(iv) P(1, 3) を通るか→(*)に x=1, y=3 を代入すると,3=2a-a' より,
a-2a+3=0 よって, a=1±ノ-2=1±/2iより,実数aは存在しない.
したがって, 直線(*)は通らない。
以上のことから,直線(*)が点(X, Y) を通るならば, Y=2aX-α° より, aの2
次方程式 α°-2Xa+Y=0 が実数解をもつといえる。
y=-2x-1
解答)直線 y=2ax-a' が点P(X, Y)を通るとき, Y=2aX-α° を満たす実数aが
存在する。すなわち, aの2次方程式 α°-2Xa+Y=0 ① が実数解をもつ。
D
4
したがって, ①の判別式をDとすると,=X-Y20 を満たす。
よって,点Pは領域 xーy20つまり, ySx° に存在する。
逆に,領域 ySx? にある点Pの座標を直線の方程式
y=2ax-a° に代入すると, 実数aが必ず存在するから、
その点Pを通る直線 y=2ax-α°が引ける。
それ以外の領域の点Pの座標を直線の方程式に代入する
と,aの値は虚数となり, 直線 y=2ax-a' は存在しない。
以上より,求める領域は右の図の斜線部分で, 境界線を含む.
Y4 y=x°
x
練習
