どうしてこの写真に書いてあるようなことが成り立つのですか？ よろしくお願いします🤲

ポイント ; f(x) をg(z)h(x) でわったときの余りをR(x) とす ると f(z) をg(x)でわった余り と R(z) を g(z) でわった余り は等しい (h(z)についても同様のことがいえる)

①高校数学　剰余の定理です。 解き方　式　答え　を教えて欲しいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

(ヒント:第1式をP(x) とおくと、どんな式が成り立てばいいでしょうか) く1 剰余の定理> 序習 教科書P43 (1) x-ar?-Sx-6、x+2 (3) ar - 2x? -12x+8、3x-2 (2) x°+ ax+a+1、x-4 例題 16 整式P(x) = ax + bx* -8x-7がx+1で割り切れ、x-2で割ったときの余り が-3となるように、定数a、bの値を求めよ。

この問題解けないことはないのですが本質的な部分がよくわかりません。 良かったら言語化していただけないでしょうか

基本 例題62 +x+1 で割 f(x)=x80-3x40+7とする。 表せ。 基本53,61, 重要55 (2) f(x)をx°+x+1で割ったときの余りを求めよ。 い。ここでは,これまでに学習した, 次の方針に従って進める。 ①高次式の値 条件式を用いて次数を下げる 割り算の問題 等式 A=BQ+Rの利用。B=0を考える 0+o+1=0 (1) oはx+x+1=0 の解であるから これを用いてまずのの値を求め,その値を利用してf(ω)の式の 次数を下げる。 (2) 求める余りは ax+bと表され f(x)=(x°+x+1)Q(x)+ax+b これにx=w を代入すると f(o)=aw+b LQ(x) は商 解答 (1) oはx°+x+1=0 の解であるから の+の+1=0 0=-o-1, w。+e=-1 の=oo°=o(-e-1)=-(@"+w)=-(-1)=1(*) 3S |=(w-1)(8"+e+1)=0 から =1としてもよい。 よって ゆえに oは1の虚数の3乗根でき また, 80=3·26+2, 40=3·13+1 であるから f(o)=o0-300+7=(w°)*.0°-3(w°)°.w+7 る。 =12%.(-o-1)-3·19.o+7=-4o+6 次数を下げて1次式に (2) f(x)をx+x+1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a, bは実数)とすると f(x)=(x°+x+1)Q(x)+ax+b f(o)=ao+b AA=BQ+R 割る式B=0を活用。 0°+o+1=0 であるから (1)から a, bは実数,oは虚数であるから したがって,求める余りは -4の+6=aω+6 a=-4, b=6 -4x+6 下の参考2を利用。 a, b, c, dが実数, zが虚数のとき 0 a+bz=0 → a=0 かつ b=0 が成り立つ。 2 a+bz=c+dz → a=c かつ b=d 証明 (O の証明] (←) 明らかに成り立つ。 (→)6キ0 と仮定すると z=ー 左辺は虚数,右辺は実数となるから矛盾。 b a よって b=0 このとき a=0 の証明は, (α-c)+(b-d)z=0として上と同様に考えればよい。 なお 上のの のけ h6の日のを一船の場合に拡張したものにあたる。

（2）の問題の解き方が解答を読んでも分かりません。 教えてください！

OOOO0 重要例題58 剰余の定理の利用 (3) (1)f(x)=x°-ax+b が (x-1)? で割り切れるとき,定数a, bの値を求 めよ。 (2) nを2以上の整数とするとき, x"-1 を(x-1)?で割ったときの余り を求めよ。 【学習院大) 基本 54 CHART O OLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 次数に注目 22 余りには剰余の定理 1 f(x) がx-1で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。 (2) 次の恒等式を利用する。ただし, nは自然数とし, α°=1, 6°=1 である。 a"-b"=(a-b)(α"-1+a"-?b+a-36+ +ab”-2+6"-1) (1)(x-1)? で割り切れる → f(x)3 (x-1)°Q 解答 f(1)=0 10 -a a-1 1 (1) f(x)は x-1 で割り切れるから ゆえに 1 ーa+1 6=a-1…① よって 1-a+b=0 天 11 ーa+1 0。 f(x)=x°-ax+a-1 =(x-1)(x°+x+1-a) g(1)=0 したがって )-3-3-3 ←条件から, g(x) もx-1 g(x)=x°+x+1-aとすると ゆえに で割り切れる。 よって 3-a=0 a=3 これをOに代入して (2)x"-1 を2次式(x-1)? で割ったときの商をQ(x), 余り を ax+b とすると, 次の等式が成り立つ。 b=2 x"-1=(x-1)°Q(x)+ax+6 合割り算の基本公式 両辺にx=1 を代入すると A=BQ+R 0=a+b よって b=-a ゆえに x"-1=(x-1)°Q(x)+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+a} x"-1=(x-1)(x"ー1+x"-2+… +x+1) であるから ← (x-1)°Q(x)+a(x-1) 両辺に x=1 を代入すると 合1=x° であるから, 左辺 の項数はx°から x"-1 ま よって a=n ゆえに したがって, 求める余りは b=-a=-n nx-n での n個 PRACTICE …58

青線のところを教えていただきたいです。 R(k)-k=0が因数定理によってR(x)-x=(x-1)(x-2(x-3)…になる理由が分からないので教えてほしいです🙇🏻‍♀️ (文系数学の良問プラチカ 51)

51. (1) 2の整式 P(x)を x-1 で割った余りが1, x-2 で割った余りが 2, 2-3 で割った余りが3となった。 P(x)を(z-1) (x-2)(x-3) で割った余りを求めよ。 (2) nは2以上の自然数とする。 k=1, 2, 3, …, n について, 整式 P(x)をx-k で割った余りがkとなった。 P(x)を(x-1) (x-2)(x-3)… (x-n) で割った余りを求めよ。 (神戸大)

解説の「剰余の定理により〜に等しい」という部分が良く分かりません。g(x)は解にxを持っているから、xで割ると余りは0になるということでしょうか…。何故g(0)に等しいのか教えて欲しいです。

(5)『g(x)= f(x) +2fa(x)+3f。(x)+…+nf,(x) とおく。 整式gn(x) をxで 割ったときの余りをrとすると テ n(n+1)( ナ]n-1) ト ア= である。 fre):gータイ1 fa(2)-2て)fal(x)- 2(2-1) [ne1,a,3 ) An: falo) - 2n-1. - 33 -

この問題がわかりません。なるべく詳しく説明していただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

についての不等式 +(1-a)z? - (a+2):r+ 2a<0を解け。 ただしaは実数定数である。

別解の意味があまり分かりません😭細かく教えて欲しいです😭

割ったときの余りを, 更にx-3x+2 すなわち(x-1)(x-2)で割ったに承りを考。 一習|整式 P(x)を(x-3)°で割った余りが2x-5であり, x-1で割った余りが5 基本 例題54 剰余の定理利 整式 P(x)をx+1で割ると余りが一2, *- 3x+2で割ると会。 重要 基本53 指針> 例題 53 と同様に, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 を め 指針> 問題の条件から,このa, b, cの値を決定しようと考える。 43次式で割った余り 次以下の整式または。 P(x)を(x+1)(x-1)(x-2) で割ったときの商をQ(x), 余り をax'+bx+cとすると, 次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bxtc……… ここで, P(x)をx+1 で割ると余りは -2であるから 解答 人分金館 AB=0を考えて の また, P(x)をx°-3x+2すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき の商をQ(x)とすると P(-1)=-2·… x=-1, 1, 2 I を代入し,a, b, com P(x)=( 1)(x- 2)Q(x)-3x+7 求める手掛かりを見っ (1 3, P(2)=1 4 ゆえに P(1)=4 よって,Oとの~④より a-b+c=-2, a+b+c=4, 4a+26+c=1 a=-2, b=3, c=3 -2x°+3x+3 (第2式)-(第1式)か。 26=6 すなわち s この連立方程式を解くと したがって、求める余りは 別解(上の解答の等式のまでは同じ] x-3x+2=(x-1)(x-2)であるから, (x+1)(x-1)(x-2)Q(x) はx°-3x+2で割り切れる。 O(*) ax*+bx+cを PCx)をでるエー。 tl1ま3.2 を解くときに有効である。 この解法は,下の練習 -3メイク ゆえに、 P(x)をx-3x+2 で割ったときの余りは, ax+ bx+cをパー3x+2 で割ったときの余りと等しい。 P(x)をx-3x+2で割ると余りは -3x+7であるから ax°+bx+c=a(x°-3x+2)-3x+7 x°-3x+2 で割ったとき 余りをR(x) とすると、 はaであるから P(x) =(x+1)(x-1)(x-200% +a(x°-3x+2)+Ra) =(x°-3x+2) ×{(x+1)Q(x)+a}+ 両辺にx=-1を代入。 よって,等式のは,次のように表される。 P(x)=(x+1)(x-1) (x-2)Q(x)+a(x°→3x+2)-3x+7 したがって P(-1)=6a+10 P(x)をx+1で割ると余りは -2であるから P(-1)=-2 ゆえに 6a+10=-2 よって -2(x-3x+2)-3x+7=-2x°+3.x+3 求める余りは a=-2 4るとき, P(x)を(x-1)(x-3)で割っ

この問題の、赤線引いた部分がわかりません。 教えてください🙇

C Get Ready 281, Training 284 0 1S 286 整式 f(x) をx+5で割ると余りが-11, (x+2)? で割ると余りがx+3C む x ers なる。このとき, f(x) を (x+5)(x+2)? で割ったときの余りを求めよ。 [15 立教大)

式を教えてください💦

問題1 P(x) = x3 - 2.x -3 のとき、次の値を求めなさい。 (2) P(3) (5) P(5) 53x5 (6) P(10)