練習 かは素数, rは正の整数とするとき, 次のことを証明せよ。
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……, X,が正の整数のとき, (x+x2+ +x,)°- (x"+x°+… +x,P) はかで
[類大阪大)
(1) X1, X2,
り切れる。
(2) アがかで割り切れないとき, rロー1_1 はかで割り切れる。
(1)(x+x2+……+x,)°を展開したときの単項式 x"x2?..……x,"r.
か!
p! pe!……pr!
多項定理。
OT
の係数は
(x1+x2+………+x,)° の展開式における x°, x2?, ………, x,° の係数
はそれぞれ1である。
したがって,(*)から,
(x+x2+………+x,)°-(x°+x2?+……+x,")
か!
Pr
の各項は
Xi"x2"2.. ,?
p! pe!…pr!"
ただし か+e+………+p,=p,
1Sisr について
0SpSp-1
2
pは0以上の整数。
と表すことができる。
か!
か!pa!…p!
ここで,
(カ-1)!
は整数であるが, p
は素数であり, ②から, この式の分母はかを素因数にもたない。
-=か.
p! pe!…pr!
(カ-1)!
p! pa!……p!
ゆえに,かと分母は互いに素であるから,
は整数
である。
よって,
か!
はかの倍数である。
p! pe!…pr!
したがって, ① はかで割り切れる。
2)(1)の①において, xi=x2= =Dx,=1 を代入すると,
peーr=r(rロー1_1) は素数かで割り切れる。
ここで, rはかで割り切れないから, re-1_1 はかで割り切れる。
