Question

IK

この問題の下の方の記述の、「αとβはともに正で」という部分はなぜ分かるのですか？αβ>0とはいえてもともに負の場合もありますよね？

例題 210
接線の直交
339
曲線C:y=x°ーkx 上の点P(a, a°-ka) [aキ0]における接線lが,曲線Cと
占Pと異なる点Qで交わり,点Qにおける接線が直線と直交している。
1)点Qの座標をaとkを用いて表せ。
をのとりうる値の範囲を求めよ。
【類大阪大
2直線が直交
(傾きの積)=-1 を利用する。
指針
条件を満たす点 P, Qが存在する
Pのx座標aがある
→aの満たす方程式が(0でない)実数解をもつ
のように考えて,このことからkの値の範囲を求める。
また
YA
x
Q
e
P
医室(1) y'=3x°-k から,接線eの方程式は
(8式)
yー(a°ーka)=(3a°-k)(x-a)
すなわち y=(3α°-k)xー2α°
イyーf(a)
=f(a)(x-a)
6
接線と曲線Cの交点Qの×座標については, yを消去し
3
x°-kx=(3a°-k)x-2a°
x3-3a°x+2a=0
(x-a)(x+2a)=0
て
ー(低式)
よって
ゆえに
(接点→ 重解x=a
人する。
xキa であるから
(2) 点Qにおける接線の傾きは
接線が直交するための条件は
Q(-2a, -8a°+2ka)
3.(-2a)-k=12a°ーk
(3a°-k)(12a-k)=-1
36(a°)?-15ka+°+130
4(傾きの積)=-1
(a°の2次方程式。
ゆえに
a=t(t>0) とおくと
のを満たす実数a(キ0) が存在するための条件は, ①'が少
なくとも1つの正の解をもつことである。
Dの判別式をDとすると
36t-15kt+k+1=0 o
の
D=(-15k)?-4.36(+1)39(9k°_16)
=9(3k+4)(3k一4)+1=x s
43(5°k?-44(2+1)}
うか。
4 4
よって kS-
D20 から(3k+4)(3k-4)20
3.3ミん
20と
kの免色
はどうhoが
Dの解を α, B8とすると
a8=
36
4解と係数の関係。
た(かた正だ!
レそした。
15k
α+8=
よって, αとBはともに正で
36
4
ゆえに(-,sk) かつ k>012
3'
3
したがって
k2-
マ
上012 +