高校数学です。波線の部分が分かりません。解説お願いします。

実戦問題 91 2つの放物線で囲まれた図形の面積の最大・最小 2つの放物線y=-x+10x-1 … ① および y=x+2(p+2)x + -6p ・・・ ② が異なる2点で交わっている。 (1) 定数の値の範囲は アイ <<ウである。 (2) 定数がアイ <<ウの範囲で変化するとき、放物線 ②の頂点Pは直線 y=エオカキの クケ <x<コサの部分を動く。 (3) 放物線 ①,②の交点のx座標をそれぞれα, β (α < β) とおく。 放物線 ①,② で囲まれた図形の面積Sをα β を用い て表すと, S= P (B-α) シ ス となるから 面積Sはチのとき最大値 をとる。 となる。また, (B-α) の値をを用いて表すと, (β-α)2=セがソ [ツテ ト p+ 解答 (1) ①,② を連立して -x+10x -1 = x2 +2(p+2)x + -6p 整理して 2x2+2(p-3)x + p2 -6p+1= 0 ... 3 ①,②が異なる2点で交わるとき, 方程式 ③ の判別式をDとすると D 083+=(-3)² − 2(p² − 6p+1) > 0 -p2+6p +7>0より よって, 求めるの値の範囲は (2)②を変形して + (+1) (p-7) < 0 -1<p<7 AS YOU 1 y={x+(力+2)}-p+2)+p-6p=(x+p+2)-10p-4 よって、放物線 ②の頂点Pの座標を(X, Y) とおくと 放物線 ②の頂点は Key X=-p-2... ④, Y=-10p-4 … ⑤ ④ より =-X-2 これを⑤に代入して Y = 10X +16 また, -1<< 7 であるから -1 <-X-2 <7 より -9 < X < -1 (+) ゆえに、点Pは直線 y=10x+16の-9 <x<-1 の部分を動く。 (3) 2次方程式 ③ の異なる2つの実数解をα, β (α <β) とおくと、求 める面積Sは (-2,-10p-4) 24 ① S = = "[(x+10x-1){x+2(p+2)x + p°-6p}]}dx >>- ( ② -J"{2x2+2(-3)x+p-6p+1}dx Key =-2/(x-a)(x-β)dx=-2・ 2.{1/(-a)}=(-a) 5 x 3 また、③において, 解と係数の関係により α+β= -(p-3), aβ= 20 p2-6p+1 H 2次方程式 ax2+bx+c=0 の2つの解をα β とすると b よって (β-α) = (a +B)-4aβ={-(-3)}2-4・ p2-6p+1 a+β=- a' a TOY=-p²+6p+7=-(-3)²+16 =128 2 (B-α)24 よって, -1 <<7において, (β-α)2はp=3のとき最大値16を とるから, β-α >0より, β-αは p = 3 のとき最大値4をとる。 したがって, 放物線 ① ② で囲まれた図形の面積Sは 16--- 43 p = 3 のとき 最大値 64 3 3 攻略のカギ! 10 3 p Key 1点Pの軌跡は,P(x,y)とおいて,xの関係式を導け30 (p.138) K2 放物線と1直線、2放物線で囲まれた図形の面積は,∫(x-α)(x-B)dx = 1/2(B-α) を利用せよ - 42 (p.171)

高校数学です。(2)でなぜsin2θ=1が2θ=π/2,5π/2になるのか分かりません…。解説お願いします！🙇

満たす。このことから, 0の値の範囲を求めると, π I (2) x = sin が方程式 (*)の解となるような角0は全部で 実戦問題 73 三角関数を含む方程式・不等式 0は 0≦02 を満たす定数とし, xの2次方程式 x2+2(1-cos0)x + 3-sin20-2sin20-2sin0 = 0 ... (*)を考える。 (1) 方程式(*)が異なる2つの実数解をもつとき, 0 は不等式 2sin20+アsing-| オ サ個ある。 π. キ ケ <0 コ coso ウ>0を πである。 <8< [シス +√ さらに0が鋭角のとき, 方程式(*)のx = sin0 以外の解はx= である。 ソ (八 解答 のめ向きとな角を (1)x2次方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき,判別 式をDとすると D> 0 D 4 (17 0 <= 2sin20+2sin0-2cose + (sin 20+ cos20)-2 =(1-cose)2-(3-sin'0-2sin20-2sin0) sin20=2sinocoso = 2sin20+2sin0-2 cos 0-1 43 よって =4sincos0+2sin0-2cos0-1 (2sin-1) (2cos0+1) AB0⇔ IT よって(2sin-1)(2cos0 + 1) > 0 0≦02πの範囲に注意して a nizx805+ 200xA>0 [A<0 または B>0 \B<0 196 14 I 7.803 +xnia 1 1 (i) sin0 > sino > かつ cost> - のとき 2 2 4/3 11 Key 1 1 sin0 > π 5 Tenia \) より <8> << 2 6 6+ singsing 1 cos> より 2 3 050<<<2 4 3 nie) -1- 14 7 よってこの共通部分は π 2 <8< π 06 長く曰く あるから cose > a 20 12 y 1 1 (ii) sin0 < かつ cosθ<- のとき 1 x 2 2 a Key 1 sin0 < より 1 5 <0 <2π 2 6'6 --sine< 2 2 cose <- より 4大量 π 2 3 8 4 よって,この共通部分は π 6 (i), (ii) より 若く 5 4 π 3 (2) x = sin0 が方程式(*) の解であるとき <-(cos< 整理すると,-3(sin26-1)= 0 より sin20 = 1 0≦204πの範囲で 20 = π 2'2 よって、条件を満たす 0 は 0= π 5 4'4 πの2個。 sin°0+2(1-cosf)sinQ+3-sin'0-2sin20-2sin0=0 <2nis 10 1 x 20の値のとり得る範囲に注意 する。 ① さらに0が鋭角のとき, 0 = であるから 三角の値は、 π 4 方程式(*)は+2-√2)x+1/2(1-2√2)=0 1 左辺を因数分解して x- 1 2 = 0 方程式(*)はx=sin-=- √2 π よって,x=sinz = 上の2頭のな = 1 √2 以外の解はx= 1 -2= 4+√2 を解にもつことがわかってい るから,因数分解する。 攻略のカギ! niey=ad+(nian Key 1 三角関数を含む方程式・不等式は,単位円を利用せよ 関 (1) (2

なぜ最大値Мは2の場合分けをし、最小値мは4で場合分けをするのでしょうか？

実戦問題 10軸が変化する2次関数の最大・最小 αを定数とする。 2次関数 f(x)=x2+2ax+3a² -4 の区間 0 x 4 における最大値を M, 最小値をmとする。 (1)a=-1 のとき,M=ア, m= イウ である。よやうく よか (2) 放物線y=f(x) の頂点の座標は I a, オ a² - 力 )であるから, 最大値 M は α キク のとき M=T α キクのとき M= a² + シ a+ スセとなる。 また, 最小値mは α <ソタ のとき m = ■チ a² + ツ α+テト [ソタ Sa<ナ のとき m= Ja²- a≧ナのとき となる。 m=ネ Ja² (3) αの値が変化するとき,M-mは α = ハヒのとき最小値をとる。 解答 (1)a=1のとき f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2 よって, f(x) は区間 0≦x≦4 において 最大値 Mf (4) = 7, 最小値m=f(1)=-2 (2) f(x)=(x+α)2 + 24°-4 と変形できるから y y=Ax) [01 4x 放物線y=f(x) の頂点の座標は (-a, 2a²-4) -2 Kev x 区間 0≦x≦4の中央の値はx=2であるから,f(x) の区間 M は における最大値 (i) y=f(x) (i) a > 2 すなわち a < 2 のとき M=f(0)=3a2-4 (ii) すなわち a≧-2のとき M=f(4)=3a2+8a + 12 の≦2 次に,f(x) の区間 0≦x≦4 における最小値mは 大 0 214 x a Kev () -α > 4 すなわちα <4のとき (ii) y y=f(x)! m=f(4)=3a² + 8a + 12 (iv) 0 < a4 すなわち 4≦a <0 のとき m = f(-a)=2a²-4 ≤0 (v) as すなわち a≧0 のとき m = f(0)=3a²-4 (3) (2) の (i)~(v)より, M-m の値は (ア) a <-4のとき M-m=3a²-4-(3a²+8a +12) =-8a-16 (イ) -4≦a <-2のとき M-m 3a²-4-(2a2-4) = a² (ウ) −2≦a < 0 のとき M-m=3a+8a + 12-(2-4) = (a+4)2 (エ) a≧0 のとき M-m 3a²+8a+ 12-(3a² - 4) =8a+16 (ア)~(エ)より, M-mのグラフは上の図のようになる。 グラフより, M-mは α=-2 のとき 最小値4 攻略のカギ! 4 20 ( y M-m4 y=f(x) の 夢 0 4+ -a 16 (iv) YA y=f(x) 14 (v) 43 2 10 a y=f(x) By 1 区間における2次関数の最大・最小は、軸と区間の位置関係を考えよ 7 (p.18) -a4 4

解答見ても理解できませんでした 誰か解説お願いします🙏🙏

頭 63 Jux-2 π ≦a≦π,0≦ß≦πとするとき, sina=cos2β をみたす ßを αで表せ.

なぜg(θ)の最大値は2bとなるのでしょうか？？

実戦問題 76 sinQ, cos0 の2次式の最大・最小 a, b, cは正の定数とする。 0≦ π 2 の範囲で定義された2つの関数+1)(c-Da f(0) ア π + ウ f(0) = (1-√3a)sin0 +2asincos0+ (1+√3a)cos20,g(0)=bsincQ+b について (1) f(0) を a, sin20, cos20 を用いて表すと asin(20+ sin(20 と変形できる。 よって, f(0) は >x> πT 0 = のとき最大値 エオ |a + + 0 = πC ク (2)(0) の最小値が0であるとき, cの値の範囲は c≧ このとき,さらにf (9) と g(8) の最大値と最小値がそれぞれ一致するならば αをとる。 PUNAQAT (1) ALDONO% のとき最小値ケ である。 V シ a = ス セ +ソ タ である。 チ

(3)の計算の仕方が分かりません。 答えは11.8g　24.0%です (1)は、168.8-31.6＝68.6 (2)は68.6×100/100+68.6＝40.68…→40.7 と答えてしまいました💦 解説お願いします🙇

20 3 水溶液状態変 実戦問題 物質が水にとけるようすを調べるために,次の①~⑥の手順で実験を行った。 下の表は100gの水にと ける物質の質量の限度と水の温度の関係を表したものである。 あとの問いに答えなさい。 【実験】 ① ビーカー A, B, C, D にそれぞれ80℃の <兵庫) 60 80 35.8 36.3 37.1 63.9 109.2 168.8 水の温度(℃) 20 40 水200g を入れ、Aには塩化ナトリウム,Bには硝 酸カリウム, Cにはミョウバン, D には砂糖をそれ A ぞれ 75.0g とかす。 物質 B ②ピーカー A,B,C,D の水溶液をゆっくり 20℃ 塩化ナトリウム [g] 硝酸カリウム[g] ミョウバン[g] 38.0 31.6 まで冷やす。 砂糖 [g] 11.4 23.8 57.4 321.6 203.9 238.1 287.3 362.1 ③ 結晶が出てきたビーカーは、水溶液をろ過し, 結晶をとり出す。 ④とり出した結晶を乾燥させ、質量をはかる。 ⑤とり出した結晶を薬さじで少量とり、スライドガラスの上にのせ、ルーペや顕微鏡で観察する。 ⑥ 冷やしても結晶が出てこないビーカーは,ガラス棒で水溶液を1滴スライドガラスにとり, 水を蒸発 させ, ルーペや顕微鏡で観察する。 (1) ろ過の方法として適切なものを、次のア~カから1つ選びなさい。 } オ (2) 手順④において,ピーカーA~Dのうち, 出てきた結晶の質量が最も大きいビーカーはどれか。 A ~Dから1つ選びなさい。 [ J (3) 手順③, ④において,ピーカーBについて調べた。 このとき,出てきた結晶の質量は何gか。 また, このときの水溶液の質量パーセント濃度は何%か。 それぞれ小数第1位まで求めなさい。 質量〔 ] 濃度 [ (4) 手順⑤ ⑥において, 図のような結晶が見られたビーカーはどれか。 ADから1 つ選びなさい。 } (5)この実験について説明した文として適切なものを,次のア~エから1つ選びなさい。 アビーカーAとDの結晶をとり出すとき どちらの水溶液も、加熱して水を蒸発させる方法より、 冷やす方法のほうが適している。 イビーカーBとCの結晶を観察したとき,ビーカーBの結晶は青色, Cの結晶は無色であり、形だ けでなく色でも区別できる。 ウピーカーBとDの水溶液を20℃まで冷やしたときの質量パーセント濃度は,Dのほうが大きい。 エピーカーBとCの水溶液を20℃まで冷やす途中の40℃の段階では, どちらの水溶液からも結晶は 出てこない。 ハイス ろ過する液のろうとへの注ぎ方 ろうとのあしの位置につい 目する。 A~Dの水の質量が200gであり、表は100gの水に 物質の質量であることに注意する。 物質が水にとける量は、 量に比例する。 (3)のときの水溶液は、飽和水溶液である。 (4)結晶は,物質によって特有の形をしている。 (5) ア~エのA~Dの水溶液について1つずつ確かめていく。 一方の 水溶液があてはまっても、もう一方の水溶液があてはまらない場合 があるので、注意する。

(2)を解き、答えもあっていましたが、私の答案の書き方で直した方がいいところを教えてください。

4 サイコロ型・ (1) 2個のさいころを同時に投げるとき, (i) 目の数の差が2である確率はいくらか. (ii) 目の数の積が12である確率はいくらか. (2)3個のさいころを同時に投げるとき,あるさいころの目の数が残りの2つのさいころの目の 数の和に等しい確率はいくらか. ( 椙山女学園大) 1 2 3 4 5 6 O O O さいころは区別する 目はさいころ1つにつき6個あるから, 2個投げ た場合,目の出方は36(=62) 通りあってこれらは同様に確からしいさい ころ2個であれば右のような表を書いて条件を満たすところに印をつける (図は目の数の和が6の場合で確率は5/36) という解法も実戦的と言える. さて,右表で「1と2の目が出る」 は2か所にあるが,これは 「区別できる さいころに1と2の目を割り当てるとき, 割り当て方は2通りある」 という 5 O ことである. ゾロ目は割り当て方が1通りなので表でも1か所ずつである. 6 12345 10 まず目の組合せを調べる さいころが3個以上のときは,表を書いて解くのは大変である. 上で述 べたように,まず目の組合せを調べ, 次にどの目をどのさいころに割り当てるかを考える. ③ (a,b,c)の関係性の国立 (サイコロ) 解答 ①サイコロ ②出に目一列に並べる→口 サイプわりわてるふり (1) 2個のさいころを区別し, A, B とすると, 目の出方は62=36通りあり, 表を使って解いてもよい。 これらは同様に確からしい. (i) 目の組合せは {3, 1}, {4, 2}, {5, 3}, {6, 4}の4通りで,どちらがAでAが3, Bが1とAが1. Bが あるかで各2通り。 よって出方は4×2=8通り. 求める確率は 8 2 36 9 など2つの目が異なるので割り 当て方は2通りずつ(Ⅱ)も同 様 (17 (i) 目の組合せは {2,6}, {3,4} だから, (i) と同様に目の出方は 4 1 2×2=4通り. よって確率は = 36 9 (2) さいころを区別すると, 目の出方は 63=216通りある. ←同様に確からしい. 3つの目を a, b, c として, a=b+c を満たす(a,b,c) [ただしbsc] を調 ここは3つの目の組合せ. べると, (2, 1, 1), (3, 1, 2), (4, 1, 3), (4, 2, 2), wwwwwwww wwwwwww (5, 1, 4), (5, 2, 3), (6, 1, 5), (6, 2, 4), (6, 3, 3) wwwwww ←αが小さい順, αが同じならが 小さい順. 目の割り当て方は,が各3通り,それ以外は各3!=6通りあるから,216 ~ は,異なる目をどのさいこ 通りのうち、条件を満たすような目の出方は ろに割り当てるかで3通り. 3×3+6×6=45 (通り) ある. 全ては等確率では出 45 5 ません!! 従って、求める確率は 216 24 4 演習題 (解答は p.47) 1から6までの目をもつ立方体のサイコロを3回投げる。 そして 1,2,3回目に出た目 をそれぞれ a, b, c とする. (1) a, b, c を3辺の長さとする正三角形が作れる確率を求めよ. (2)/α,b,cを3辺の長さとする二等辺三角形が作れる確率を求めよ。 (3) a, b, c を3辺の長さとする三角形が作れる確率を求めよ. (滋賀医大) まず a b c の組合せを 列挙する. 何かが小さい 順など, 系統的に数えよ う. (1) (2) 以外は3辺 の長さが相異なる. 37

サについて質問です。3枚目の解答のマーカーのところはどうやってでてきたのですか？

実戦問題 ベクトル 312 三角錐 PABCにおいて,辺BCの中点をMとおく。また。 <PAB=∠PAC とし、この角度を0とおく。 ただし, 0° <<90° とする。 ア ウ (1) AMはAM= AB+ AC と表せる。また I AP AB AP-AC JAP||AB| |AP||AC| である。 オ ・① オ の解答群 sino cose tan 1 1 1 sino cose tan sin ∠BPC ⑦ cos ∠BPC (8 tan BPC (2)45°とし,さらに|AP|=3√2 |AB|=|PB|=3, |AC|=|PC|=3が 成り立つ場合を考える。 このとき, APAB=APACカである。さらに, 直線AM 上の点Dが ∠APD=90° を満たしているとする。 このとき,AD=キAM である。 (3) AQ=≠AM で定まる点をQとおく。 PAとPQが垂直である三角錐 PABC はどのようなものかについて考えよう。 例えば (2) の場合では、点Qは 点Dと一致し, PA PQ は垂直である。 (1) PA PQ が垂直であるとき PQ を AB, AC, APを用いて表して考え ると, ク が成り立つ。 さらに ① に注意すると クからケが 成り立つことがわかる。 したがって,PAとPQが垂直であれば、 ケ が成り立つ。 逆に、 ケ が成り立てばPAとPQは垂直である。 ク の解答群 ◎ AP・AB+AP・AC=AP・AP ① AP-AB+APAC=-AP・AP ② AP・AB+AP・AC=AB・AC ③ AP AB+AP AC=-AB.AC ④AP・AB+APAC = 0 AP-AB-AP・AC=0

(3)がわからないので教えて頂きたいです。 解答の赤字の意味がわかりません。

実戦 79 指数方程式の解の存在範囲 (1) 2" とおくときの値のとり得る範囲は>アである。 関数f(x)=4+α2la+3 について また, y=f(x) として,yを!の式で表すと, y + at + ウエ α+ オ (2)yの最小値が-17 となるとき, αの値は [カキ] である。 (3)xの方程式 f(x)=0 が異なる2つの負の解をもつとき、定数αの値の範囲を求めると、 解答 Key 1 (1) すべての実数xに対して 2 0 であるから また >0 y= (2*)²+a+22.2*+11a+3=12+4at+11a+3 (2)g(t)=+4at + 1la +3 とおく。 y となる。 [ケコ サシ 4x = (27)* = 2x t=0 を範囲に含まない A g(t)=(t+2a)-4 +11a+3 であるから (i) 2a0 すなわち a ≧ 0 のとき y=g(t) のグラフは右の図のようになり,g(t) 最小値をもたない。 は最小値をもたない。 11a+3 -2a ゆえに、最小値が17 となることはない。 10 t (ii) 2a>0 すなわち α < 0 のとき y = g(t) のグラフは右の図のようになり,g(t)は t = -2α のとき最小値 4² +11a+3をとる。 最小値が-17 のとき -4a²+11a+3=-17 (4a+5)(a-4) = 0 となり a <0 より a=-- 5 4 (3) x < 0 のとき t = 2* < 20 = 1 E)-30-4a²+11a+3 -2a 10 t 4a²-11a-20=0 実戦問 関数f(x)=3 (1) = 3 +3 3x+3= y- (2)の3次 となるか x=log/ 解答 Key 1 Key 1 Key Key 1 xの方程式 f(x) = 0 が異なる2つの負の解をもつとき,tの2次方 程式 g(t) = 0 は区間 0 <t < 1 に異なる2つの実数解をもつ。この とき, g(t)のグラフは次の図のような放物線になる。よって (i) 放物線y=g(t) の頂点のy座標が負で あるから4² + 11a + 3 < 0 as 43 (ii) 放物線y = g(t) の軸は t = -2a より g(1) 0 < −2a<1 9(0) = 11a+3> 0 (0) -2a 0 1 方程式 g(t) =0の判定 D0 としてもよい。 (iv) g(1)=15a+4>0 (i)より (a-3)(4a+1) > 0 ゆえにく 4' 1,3<a -ds (iv) (ii)より <a< 0 (iii) 2 (ii) (Ⅲ) より a> Ja(iv) h a> -· 3 14 15 ( 3 = -0.2727... a 11 0 3 4 3 13 (i)~ (iv) より, 求めるαの値の範囲は <a< 15 = -0.2666... 15

オになる理由を教えてください🙇‍♀️

中3-入試実戦後期 理科 [H30 名城改] 4 4 〔実験3] を行った。 デンプンに対するヒトのだ液のはたらきを調べるため,次の〔実験1〕から MAJ* I (3 I 〔実験1〕 4本の試験管AからDに1% デンプン溶液を5mLずつそれぞれと り,試験管A,Bにはヒトのだ液2mLを,試験管C,Dには水2mL をそれぞれ入れた。各試験管をよくかき混ぜ、37℃の湯の中に10分間 を加 入れて放置した。 〔実験2〕 試験管A, Cの溶液に,それぞれヨウ素液を2,3滴加えてよく混 ぜそれぞれの色の変化を観察した。 〔実験3] 試験管B,Dの溶液に,それぞれベネジクト液を少量加えてある操作 をし、色の変化を観察した。