関数をん
x=1,x=2のとき,関数f(x)=2x-3について,
fz(x)=f(f(x)), f(x)=f(fz(x))....... fn(x)=f(fn-1(x)) [n≧3] とする。
・基本 14
このとき, fz(x), f(x) を計算し, fn(x) [n≧2] を求めよ。
指針 fn(x) を求めるには, fz(x), f(x),
解答
と順に求めて, その規則性をつかむ。
この問題では, (fofk)(x)=x,つまりfk+1(x)=x [恒等関数] となるものが出てくるか
f(x) の繰り返しとなる。
5, fn(x) l£x, f(x), f₂(x),
なお, fz(x), f(x),
と順に求めた結果, fn(x) の式が具体的に予想できる場合
は、予想したものを数学的帰納法 (数学B) で証明する, という方針で進めるとよい
(→下の練習 16)。
よって
fz(x)=f(f(x))=
した関数
2f(x)-3
f(x)-1
2(2x-3)-3(x-1)
2x-3-(x-1)
f(x)=f(fz(x))=
x-3
x-2
2・・
x-3
x-2
=
=
2(x-3)-3(x-2).
x-3-(x-2)
-3
2x-3
x-1
2x-3
x-1
2･
x-3
x-2
-10
=x
n=3mのとき fn(x)=x;
n=3m+1のとき.fn(x)=
f(x)=f(f(x))=f(x),
fs(x)=f(f(x))=f(f(x))=fz(x),
f(x)=f(fs(x))=f(fz(x))=f(x),
ゆえに, fn(x)=fn-3(x) [n≧5] が成り立つ。
すなわち, mを自然数とすると
2x-3
x-1
n=2,3+2のとき fn(x)=x-3
x-2
-3
-1
【分母・分子にx-]
掛ける。
分母・分子にx-
掛ける。
恒等関数。
f(x)=f(x),
f(x)=fz(x),
f(x)=f(x),
