どういうことですか？ 問題の概要を教えてください。

考え方 SO 解 3 漸化式と数学的帰納法 545 例題308 数列と図形 (1) *** 平面上にどの2つをとっても互いに2点で交わり,また,どの3つを とっても同一の点で交わらないn個の円がある.これらの円によって平 面は何個の部分に分けられるか. その個数 an をnの式で表せ。食 n個の円がある状態から, (n+1) 個目の円をつけ加えたとき,もとのn個の円と何 ヶ所で交わるかを考える 円の個数 [5₁_n=1 n=2 練習 308 2 ISHOKIS 2 31 2 4 k=1 (2)より。 =n²-n+2 これは,n=1のときも成り立つ。 よって, an=n²on+2 n=3 2 +2 6 3 7 2 4 5 割される.これらの弧に対して, それぞれ新たな平面の部 分が1個ずつ増えるので,平面の部分は 2n個増える . したがって, an+1=an+2n *b+8x1" (1). d=2-2 n≧2のとき, an= a₁ +2k=2+2.(n-1)n 4 +4 8 HE 7 + n=4 2 14 増えた交点の個数 6 増えた平面の数 +6 平面が分けられる数 20140AH 80 14 実験より,(増えた交点の個数)=(増えた平面の部分の数) であることがわかる . 4. 10 12 n=1のとき, a₁=2 n個の円があるとき, (n+1) 個目の円を新たにかくと, この円はn個の円とそ れぞれ2回ずつ交わる. すなわち、他の円と2n個の交点を持つので, (n+1) 個目の円は2個の弧に分 -3 9 13 n=3のとき, 4つの交点に対して, 4つの弧 1) A 4つの新たな平面 Focus くり返しによる図形の問題については,まず図をかいて規則性をつかもう とくに番目と(n+1) 番目の関係を式で示す 注 この問題を, 平面を球面にして, 「球面上に,どの3つをとっても1点で交わらな n個の大円 (半径が球の半径に等しい円) がある.これらn個の大円は球面上を いくつの部分に分けるか, その個数αをnの式で表せ.」 という問題も全く同じ考 え方で, an=n²-n+2 であることがわかる. 三角形ABC の各頂点と, それぞれの対辺上の両端以外の異なる100 個の点 を直線で結ぶと, これら300本の直線によって三角形ABCの内部はいくつ の部分に分けられるか。 ただし、どの3直線も三角形ABC内の1点で交わ (名古屋市立大) 数 列

なぜ解答の11行目の赤波線から12行目の赤波線になるんですか？

考え方 解 [Check 例題 300 数学的帰納法 (2) 不等式の証明 (nt nが2以上の自然数のとき, 1+2+3+. 1 ((-)| 22 立つことを数学的帰納法で証明せよ. 1 1 1 + 2/2+3/1++ / < 2 - 1+ <2-² n 2² (I) n=2のとき, 2以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい. (I) n=2のとき, 不等式が成り立つことを示す。また合() (II)n=k(≧2) のとき, 不等式が成り立つと仮定し, これを用いて,n=k+1 の ときも成り立つことを示す. 33 (433 > ...…. ① 5 (左辺=1+1/23/12 (右)=2-12-27 3 2² 4 N より 左辺) (右辺) となり, n=2のとき①は成り立つ. このときの成り (II)n=k(≧2) のとき① が成り立つと仮定すると, (*)・・・・・ 1+2/2+3/2/2 +･････.+ (*) 3² n=k+1 のとき, 2² が成り立つことを示せばよい。 (右辺) (左辺) di="er 1 =2- alter='s (1-2 1+1/2/2+1/2++ /1/12 + (+1) = <2- ·+·· 3² k² >2- 1/22<2 - 1/2 k k+1 1 k+1 3 漸化式と数学的帰納法 ** 1 1 22 3² 1+ + +･･････+ 171232<2-- n² (born), d=a とおく と (1-) + C1=70,530 I=R (-)+¹0=0.30 S- 21450 ·+······+· 1 + k² (k+1)² 1 n ...(*)*** k (k+1)²] =^(r= }= qer}= $30 17d=5 ->0 ¯k(k+1)² したがって (右辺) - (左辺)>0となり,n=k+1 のとき も成り立つ. が成り k+1+ +*@[=>] る. 50 1+s=N₁.816 (I), (II)より2以上のすべての自然数nについて, ① は成り 立つ. Focus (5 bom) JEROE (n+1)-(4+1) は2以上の自然数 何を示すかを明記す (右辺) (左辺) > 0 を示せばよい. 533 (*) の仮定を利用す るが,不等号の向き に注意する. く ならば, -A んは2以上の自然数 だから, k(k+1)^>0 よって, k(k+1)² >0 数学的帰納法の証明 "S" ([-)+"(S-) = 何が仮定で (スタート), 何を示すべきか (ゴール) を明確に 注 例題 300 や練習 300のように, n=1 から始まらず、最初の数がn=2 やn=4な

解答の3行目まででの質問ですが、r≠1を確認する時との違いは何ですか？

考え方 [Check] 例題292 分数型の漸化式 (1) 解 OF CO Focus a=- 1 2 で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. SSD OPTID 9 an の逆数 India ( 3700 これまでに学んだ漸化式の解法が利用できないか考える ここ では,漸化式の両辺の逆数をとって考える. 1 - を 6, とおくと、与えられた漸化式は,例題285 an (p.505) のタイプ (an+1=pan+q) となる. An an+₁=₂an_) (s) +=+ 2-an an+1=0 と仮定すると, an=0 これをくり返すと, An-1=an-2 =......=a₁=0 となり, 4=1/12/30 と矛盾するので, ≠0 ここで,(bm= よって, 与えられた漸化式の両辺の逆数をとると 1 2-an 2 ・1 an+1 an an 1 an 3 漸化式と数学的帰納法 *** = とおくと, an= = 1 2-1+1 an 0 (n ≥1) SINCE+an+1 = 1 bn+1-1=2(6n-1),b1-1=1 したがって, 数列{bn-1} は初項1,公比2の等比数列だから、 bn-1=1・2n-1 より, \bn=2n-1+1 6n+1=26-1,61= -=2 a 逆数 OVE となり,n=k+1 のときも成り立つ. よって、すべてのnに対して, an=0 が成り立つ. (南山大) (2014 &+8+8= (- a1 1歳8 + spail it? an 2-an an=0 -=0 トキ」を確認するときとの α=2α-1 より, α=1 An stato stansiy 1=27-1+1 より, an=2n-1+1 分数型の漸化式は逆数で考える 13233) 48ð 注例題292 で an=0 は, これから学ぶ数学的帰納法 (p.532〜) を用いた証明もでき Sant 3·0⁰ る. RITIDS <a≠0 の数学的帰納法による証明 > Cadd n=1のとき, a1=- ≠0 +0¹ 26832203_²5/S5/ESKAO3**# 53* =kのとき, αk=0 と仮定すると, n=k+1 のとき, ak+1= AT 513 ak 2-ak Cas 33 まし 治温室また。分数型の漸化式は,例題292のように逆数を考える方法だけでなく,例題 D 293 (p.516) のように特性方程式を利用する解き方もある。 E

数Bの問題です。提出が近くて困っています💦 【？】について教えてください🙇🏻‍♀️

Link 考察 研究 漸化式の活用 漸化式を活用して,次の図形の問題について考えてみよう。 例題 1 解答 平面上にn本の直線があり、どの2本も平行でなく,また,どの 3本も1点で交わらないとする。 これらn本の直線が、平面を α 個の部分に分けるとき, am をnの式で表せ。 1本の直線で, 平面は2つの部分に分けられるから a=2 DHC n本の直線により, 平面が an 個の |n=3のとき 第三 部分に分けられているとき (n+1) 本目の直線lを引く。 TA l n本の直線とn個の点で交わり, Tr+25} (n-1) 個の線分と2個の半直線にして 分けられる。 OD これらの線分と半直線は, それが含まれる各平面の部分を2つに 分けるから,直線lを引くことで平面の部分が (n+1) 個増える。 an+1=an+(n+1) すなわち an+1-an=n+1 数列{an}の階差数列の一般項がn+1であるから.n≧2のとき an=a+1/(k+1)=2+1/12(n-1)n+(n-1) よって an = 1/2 (n²+n+2) よって 初項は α=2 なので,この式はn=1のときにも成り立つ。 1 an - (n²+n+2) したがって 求める式は 2 2 3 【?】 直線l を引くことで平面の部分が (n+1) 個増加する。 n=3のときの図を使って説明してみよう。 ・ この理由を, 10 15 20

高2漸化式 緑のマーカー部分がどこから求まっているかわかりません💦 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

6 漸化式と数列 ※以下、特に断りがない場合は,漸化式はn=1,2,3, 隣接 2 項 隣接2項 隣接2項 で成り立つものとする。 20 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (2) α1=5, an+1=3an 隣接2項 (1) α=2, an+1=an+4 (3) α=1, an+1=an+2n-3 ポイント (1) an+1=an+d. (2) an+1=ran (3) an+1=an+ (not) → 21 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a=6, an+1=4an-9 ポイント ② an+1=pan+g an+1-c=p(an-c)と変形 ポイント ④ 両辺を2" +1で割ると 公差dの等差数列 公比rの等比数列 an 2" 2. an+1=an+(nの式) 2 22 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a=1, an+1=2an+3n ポイント③ @n+1=pan+ (nの1次式) 階差数列を利用 23 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a=10, an+1=3an+2 +2 → 階差数列を利用 とおくとbn+1= an+1 2n+1 重要事項 ◆漸化式と一般項 1. 等差数列,等比数列は, 次の条件で定められる。 a=a, an+1=an+d a = a, an+1=ran 3 2 2 . -6n+2 an +2 初項a,公差dの等差数列 初頂

81(1)なぜ［ ］で囲った部分が出てきて、その式から引くのかわかりません。教えてください。

81 (1) 条件から +2=201 an+1=2an+n-1 辺々を引くと an+2an+1=2(an+1-4月) +1 bn=an+1-aとおくと bn+1=26+1 これを変形して bn+1+1=2b+1) ここで、a2=2a+1-1=2 であるから b1+1=(a2-a)+1=(2-1)+1=2 初項はα=1であるから, この式はn=1の にも成り立つ。 したがって a = 4.3"-1-2n-1 別解 (bm=8.3-1-2 を求めるまでは同じ) b„=8.3"-1-2から an+1-a₂=8-3-1 これに よって を代入して +1=34+4n (3a,+4n)-a, -8.3"-1-2 a=4.3-1-2n-1 第3節 漸化式と数学的帰納法 157 81 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を, bn=an+1- an とおくこ とにより求めよ。 *(1) α=1, an+1=2an+n-1 (2) α=1, an+1=3an+4n 第1章 数列

【途中計算】青い線で囲った1/k+1はどこから出てきたんですか？

する。 (I)n=1のとき, (①の左辺)=1- (左)=1-12-1/12/2 1 1 (①の右辺)= 1+1 2 よって, ①は成り立つ。 (I)n=kのときの①、 すなわち, (1/1/2)+(1/13-1/18)+(1/-/1/2) + + (12/0²/12/16) 2k-1 2k 1 1 1 + k+1 k+2 k+3 が成り立つと仮定する。 ②を用いて,n=k+1 のときの①の左辺を変形すると, (1-12/2)+(1/8-1)+(1/8-1/2)+ 3 k+1 k+2 k+2 + h+2 1 k+3 k+3 ...... + + + 1 2k-1 k+3 1 k+4 +......+ T k+4 " 1 k+k 21/12) + 2k 2(k+1)-1 2(k+1) k+k ・求める 1₁ k+k 2k+1 k+k 2k+1 2(k+1) 1 k+1 2(k+1). + 1 1 1 + (k+1)+1 (k+1)+2 (k+1)+3 同じ 2k41 2(k+1) 2+1+2 1 ·+· (k+1)+/k−1) (k+1)+k (+1)+(k+1) よって,n=k+1のときも ① が成り立つ。 (I), (II)より ① はすべての自然数nについて成り立つ。 第1章 数列 数学 仮定②を利用する 同じと zk 2k + 2k11

分からないので途中計算も含めて解説お願いします

(8) 2x-y 3 4x-2y 9

数Bの数列の漸化式の質問です。 解答の1行目の4an-1が0になったらいけないのに4an-1≠0を示す必要は無いんですか？ 必要があるのならその示し方、必要が無い(そもそも示す必要がないor既に示されてることが明らか)のならそれが何故かを教えてください。

2,45\ ■方針。 ど, 着 両 法 階 「 例題 基本 4-3- 37 an+1= an+1 an+1= 2 an 4an-1 an pantg ① 漸化式の両辺の逆数をとると an panta のように、分子が an の項だけの分数形の漸化式の解法の手順は 1 an+1 1 = b とおくと bn+1=p+gbn an によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 4/5 漸化式 An+1= 練習 37 α=1, an+1= 型の漸化式 p.464 基本例題 34 と同様にして一般項6 が求められる。 また,逆数を考えるために, an=0(n≧1) であることを示しておく。 CHART 両辺の逆数をとる an-1=an-2=.....=a1=0 an 分数形の漸化式 αn+1 47 で扱っている。 3an an ①とする｡ an+1=; 4an-1 答 ① において, an+1=0とするとa=0であるから, an=0 となるnがあると仮定すると 1 an panta 1 an+1 ところが α= (0) であるから,これは矛盾。 よって すべての自然数nについて an=0である。 ① の両辺の逆数をとると =4- = [類 早稲田大] ・基本 34 重要 46\ t bn+1=4-bn 1 an -=6m² とおくと bn+1-2=-(6-2) これを変形すると また b1-2=1-2=5-2=3 ar ゆえに,数列{bn-2} は初項 3,公比1の等比数列で bn-2=3.(-1)^-1 すなわち bn=3· (−1)"'+2 したがって =p+q ___1 bn3.(-1)"'+2 rants panta an bn+1=0b+の形に帰着。 $_$85 (0<1) +0+2=1 <=> an 05 an-1=0 これから an-2=0 以後これを繰り返す。 逆数をとるための十分条 件。 1 4an-1 an an+1 469 特性方程式 α=4-α から α=2 -87 によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 1 章 4 漸化式と数列 bn=1 という式の形か an 5 bn=0 (s≠0)の場合については, p.484, 485 の重要例題 46,

解法2の方ですが、なぜ(n+2)(n+1)を両辺にかけるのですか？

例題296 漸化式 an+1=f(n) an FOTO *** a=1,(n+3)an+1= nan で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. 考え方 解答 1 漸化式は an+1=- an+1= f(n)an となる。 ここで, 解答1 漸化式を変形して このとき, az= ■解答 2 漸化式の両辺に(n+2) (n+1)を掛けると, (n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1) an+1=f(n)an=f(n){f(n-1)an)=f(n)f(n-1){f(n-2) これをくり返すと, an+1=f(n)f(n-1) f (n-2)......f (1) at nam となる. bn=(n+2)(n+1) nam とおくと, この式はbn+1=bnとなる。 28 an...... ① an n n+gan と変形できて, f(n)=_" an= an+1= a3= 2+30 392= n≧4 のとき, ① をくり返し用いると, n-1. n-2.n-3.n-4 n+2n+1 n 3 2 1 6 •1 = n+2 n +1 n n(n+1)(n+2) n n+3a 1 1+391 4' よって, ● 1 2 2+3 1+34 この式はn=1,2,3のときも成り立つ . よって, n-1 an=- 3 漸化式と数学的帰納法 6 n(n+1)(n+2) A₁ = 解答2 漸化式の両辺に(n+2)(n+1)を掛けると, (n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)nan 6 n(n+1)(n+2) 10 4.3.2.1 7 6 5 4 したがって, bn=bn-1=bn-2=.....=b1 ここで,b=(1+2)・(1+1)･1・α=6 より,_bı=6 bn=(n+2)(n+1)nan であるから, (n+2)(n+1)nan=6 n+3 cin とおくと, Inde .Fai an= n-1 n+2an-1 n-1n-2 n+2n+1 a=1 25/19 (-102 bn=(n+2)(n+1)nan とおくと, ②はbn+1=6mとなり, =(n+2)(n+1)nan これはすべての自然数nに対して成り立つ. (n+3)(n+2) mm -An-2 a=1 x(n+1)an+1 523 第8章