基本 例題
例題 115 常に成り立つ不等式 (絶対不等式) 00
(1) すべての実数x に対して, 2次不等式x2+(k+3)x-k>0が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
10%
(2) 任意の実数x に対して, 不等式 ax²-2√3x+a+20 が成り立つよう
数αの値の範囲を求めよ。
/ p.187 基本事項目
指針左辺を f(x) としたときの, y=f(x) のグラフと関連付けて考えるとよい。
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると,
すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つのは、
y=f(x) のグラフが常にx軸より上側 (y>0の部分)に
あるときである。
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが
常にx軸より上側にあるための条件は,x軸と共有点をも
たないことである。 よって,f(x)=0の判別式をDとする
と, D<0 が条件となる。
y=f(x)
f(x)の値が常に正
X
D<0はんについての不等式になるから,それを解いてんの値の範囲を求める。
(2)(1) と同様に解くことができるが,単に「不等式」 とあるから, α = 0 の場合 (2次
不等式でない場合) と α≠0の場合に分けて考える。
a≠0の場合, αの符号によって, グラフが下に凸か上に凸かが変わるから, αにつ
いての条件も必要となる。 また, 不等式の左辺の値は0になってもよいから,グラ
フがx軸に接する場合も条件を満たすことに注意する。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える
