基礎問題精講1Aの113です。 x=x'-1やx=x'+1などとおくやり方の考え方がわからないので、なぜこのようにおくのか教えて頂きたいです。

113 重複組合せ 区別のつかない球5個を A.B. C 3つの箱に入れる. (1) どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか. (2) 1個も入っていない箱があってもよいとすれば,何通りの方 法があるか.

赤い線の9C2が分かりません😭

り出す。この きるか。 3 うちはn た方が確 った 29 整数解の組の個数(重複組合せの利用) 基本例題 (2) x+y+z=6 を満たす正の整数解の組(x,y, 2) は何個あるか。 (1) x+y+z= 7 を満たす負でない整数解の組(x,y, 2) は何個あるか。 CHART SOLUTION ○と仕切り の活用・・・・・・ (1) x+y+z= 7 を満たす負でない整数解の組(x, y, z) は、7個の○と2個の 仕切りの順列を考え, 仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を、左から 順にx,y,zとすると得られる。 例えば 〇〇〇一〇〇|〇〇には 一〇〇|〇〇〇〇〇には M.2 基本事項 基本 28 がそれぞれ対応する。 (2) 正の整数解であるから,x,y,zは1以上となる。 そこで,x-1=X, y-1=Y, z-1=Zとおき, 0 であってもよい X≧0, Y≧0, Z≧0 の整数解 の場合 ((1) と同じ) に帰着させる。 これは、6個の○のうち,まず1個ずつをx, y, zに割り振ってから,残った3個の○と2個の仕切りを並べることと同じ である。 解答 (1) 求める整数解の組の個数は7個の○と2個のを1列に 並べる順列の総数と同じで 021 9C7=9C₂= -=36 (個) 9.8 2･1 (x,y,z)=(3,22) (x,y,z)=(0,25) 31 120** 別解 求める整数解の組の個数は,3種類の文字 x,y,zから 重複を許して7個取る組合せの総数に等しいから 3H7=3+7-1C7=9C7=9C2=36 (個) (2) x≧1,y≧1, z≧1 から x-1≧0, y-1≧0,z-1≧0 ここで, x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと X+Y+Z=6-3=3 よって求める正の整数解の組の個数は、3個の○と2個の を1列に並べる順列の総数と同じで PRACTICE ... 29 ③ ･･･ 3つの部分に分けるには, 3-1=2 (個) の仕切り が必要。 9! 2!7! でもよい。 5.4 5C3=5C2=- -10 (個) 2･1 21-HAL 別解 ○を6個並べる。 求める正の整数解の組の個数は,○と ○の間5か所から2つを選んで仕切りを入れる方法の総数 と等しいから 5Cz=10 (fE) 277 別解 3H3 = 3+3-1 C3 =5C3=5C2 10 (個) (1)x+y+z=9を満たす負でない整数解の組(x,y,z)は何個あるか。 (2) rul の整数解の組(x,y,z) は何個あるか。 3 組合せ ◆仕切り | は, 両端に入れ ることはできない。

場合の数です。解説、別解どちらを読んでもよく分からないので教えてください🙇‍♀️

基礎問 186 第6章 順列・組合せ 113 重複組合せ 区別のつかない球5個をA,B,C3つの箱に入れる。 どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか､ (2) 1個も入っていない箱があってもよいとすれば、 何通りの方 法があるか. 精講 A,B,Cの箱に, それぞれ個, y個 2個入るとすると, (1),(2)は,それ ぞれ,次の方程式の解 (x,y,z) の組の数を求めることと同じになります。 (1)x+y+z=5 (x≧1,y≧1, z≧1) (2)x+y+z=5 (x≧0 y≧0, z≧0) 解答では,まず拾い上げてみて, あとで計算による解法を考えてみましょう。 解答 A,B,Cの箱にそれぞれ, x個, y個, z個入るとする. (1) x+y+z=5 (x≥1, y≥1, z≥1) x = 1,2,3 だから, (x,y,z) の組は次表のようになる. IC 1 1 2 2 3 2 3 2 (2) x+y+z=5 (x≥0, y≥0, z≥0) 1万円札が5枚あるとき (これらは区別がつきません),どの1万円 札がほしいという人はいません。 何枚ほしいというはずです.だか ら,区別がつかない球のときは個数で考えます. y 2 2 1 1 3 1 2 1 よって6通り 1 2 1 1 基準をもって数え上 げる IC 0 0 0 0 0 0 1 1 1 112222 3 3 3 4 4 5 y 012345 012340 1 2 3 0 120 10 543210432103 210 210100 よって 21通り 注 この問題のように, 変数に関して条件が同じ (このことをx,y,z は対称性があるといいます) であれば、次のように大小を仮定して数 えて,あとで並べ方を考える方がラクです.

黄チャートの組み合わせの範囲です。 問題文の8次の項とういうところから、イメージがつかなくて分かりません。 わかる方いたら教えてください。よろしくお願いします！🙏🏻 1枚目問題、2枚目回答

重複組合せの基本の栄養 基本例題 29 次の問いに答えよ。ただし,含まれない数字や文字があってもよい。 (1,2,3,4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。この とき,作られる組の総数を求めよ。 x2 x,y,zの3種類の文字から作られる8次の項は何通りできるか。 p.294 基本事項 3 303

なぜ3の6乗ではダメなのでしょうか？💦

362 第6章 場合 32X Check [考え方 解答 例題204 重複組合せ 3個の文字 a,b,c から同じものを何度使ってもよいものとして,6個 取り出す組合せは何通りあるか. Focus 3種類から6個取る重複組合せである。 6個の○を2個の(仕切り)で3つに分けると考えると,6個の○と2個のの 8個の同じものを含む並べ方である. モ aaaaaa abbccc aaaaab OOOOOO | | 01001000 OOOOO 101 aacccc 00110000 10000 100 bbbbcc → である。 SOTHER 6個の○と2個のの合計8個の並べ方と考えられるから, 8! C= ANOTY St 6!2! 28 (通り) 2002 3種類に分けるときは 2 個の仕切り abo (aだけなので右端に|が2つ並ぶ) ROGO48 61037 (cがないので右端にがくる) ( bがないので間に | が2つ並ぶ) (aがないので左端に|がくる) 22400 C 重複組合せは,○との並べ方を考える n 種類からr個取る重複組合せは Hy=n+r1C (通り) *** n 注〉 例題 204 のように,3種類に分けるときは2個の(仕切り) が必要である. 同様にして, 4種類に分けるときは3個の(仕切り)が必要である. 一般に, n 種類に分けるには (n-1) 個の 3種類から6個 重複組合せ 3H6=3+6-1C6 が必要である. (仕切り) 0100100 4種類に分けるときは 3個 0⑥0④

数学得意な方お願いします。 場合の数の問題です。 恥ずかしながら重複順列/組み合わせの区別が苦手で、図は理解できますが、未だなぜn乗が使えないのかわかりません。 どなたか教えてくださると大変助かります。

5 10 研究 15 3個の文字 a, b, c から 同じものを繰り返し使うことを許して 7個とるときの組合せの総数を求めてみよう。 たとえば, a を4個, bを2個, cを1個とった場合の組合せを, abbc のように, a,b,c の順に並べて表すことにする。 この組合せは, ALTRUI 7個の○に2個の仕切りを入れて3つの部分に分け。 a a a a 重複組合せ ooooo00-000010010➡a のように、第1のの左に a, 第1と第2の の間に b 第2の|の右にcを配置したもの と表すことができる。 このようにすると. b a a a a (b) (b) セリ bb b 35 a aa bb c も OO 1000 100 000110000 1OOOOOOO I 場合の数とミ のように,組合せの1つ1つが,7個の○と2個のを1列に並べた に対応することになる。 よって、求める組合せの総数は,○とを合わせた 9個の場所から ○を入れる7個の場所を選ぶ方法の総数に等しく, 料 C =36 (通り) 8個選

数1A青チャート、組み合わせの問題です！ 35の(2)についてなのですが、私は○10個と棒4個で考えたのですが、解説には○5個と棒9本と書いてあります。なぜこうなるのですか？

練習 ③35 5桁の整数 n において, 万の位, 千の位, 百の位、十の位, 一の位の数字をそれぞ れa,b,c,d, e とするとき, 次の条件を満たすnは何個あるか。 (1) a>b>c>d>e (2) a≥b≥c≥dze (0) (3) a+b+c+d+e≦6

なぜ10個のマルとして考えるのですか？

考え方 解 ocus 練習 193 例題 193 整数解の個数 次の式を満たす整数解の組は何通りあるか. (1) x+y+z=10 (x≧0、y≧0,z≧0) (2)x+y+z=10 (x≧1,y≧1,z≧1) (3) x+y+z≦10 (x≧0,y0,z≧0) (1) x,y,zは整数なので, 10個の○をx,y,zに分けると考えれば,x,y,zを合 わせて10個選ぶ重複組合せと同じ.10個の○と2個の(仕切り)で考える. (2) x,y,zは1以上の整数(つまり自然数) である。 そこで,まず10個の○の中から,それぞれを1個ずつx,y,zに与える. 次に残りの7個は, x, y, z を合わせて7個選ぶ重複組合せを考える. たとえば, x=3, y=5, z=2 の場合は次のようになる. y え ○← 最初に1個ずつ選んでおく. 〇〇|〇〇〇〇|〇 (3) 不等式であるが, 方程式におき換えて考える. 10-(x+y+z)=u とすると, 与えられた不等式は, として考えることができる. たとえば, x=2, y=3, z=1の場合は次のようになる. x y zu (1) 10個の○と2個の 3組合せ **** 7個の○と2個(仕切り)で考える. 0010001010000 x+y+z≦10 より, u≧0 であるから, x+y+z+u = 10 (x≥0, y≥0, z≥0, u≥0) x,y,zに分けた残りはひに与えると考える. の合計12個の並べ方を考えて 12C10=12C2=66 (通り) (2) 10 個の○のうち, x, y, zにまず1個ずつとっておき, 残りの7個をx,y,zで分ければよい。つまり, 7個の○ と2個のの合計9個の並べ方を考えて =gC2=36 (通り) (3) 10-(x+y+z)=u とおくと, u≥0 x+y+z+u=10 (x≧0、y≧0,z≧0,u≧0) と考えて, 10個の○と3個のの合計13個の並べ方を考 13C10=13C3=286 (通り) 001000100000 のとき, x=2, y=3, z=5 001000010 のとき, x=2+1=3 y=4+1=5 |z=1+1=2 x+y+z≦10 より, u≥0 |x,y,zに分けて 残りをuに与えれば, x+y+z≦10 の 不等式が成り立つ. 整数解の個数は,重複組合せで考える 注 (3)は,x+y+z= (k=0, 1,.... 10) のときに場合分けして考えることもで きる. 次の式を満たす整数解の組は何通りあるか. (1) x+y+z+u=10 (r≥1, y≥1, z≥1, u≥1) (2) x+y+z+u≤10 (x≥0, y≥0, z≥0, u≥0) A p.34732 341 個数の処理

（2）と（3）を教えていただきたいです

重要 例題 35 数字の順列 (数の大 一次の条件を満たす整数の組(a1, a2, a3, α4, as) の個数を求めよ。 (1)0<a<az<a <a <as <9 (2) mamaz≦assassas (3) ar+az+a+astas≦3, ai ≧0 (i=1, 2,3,4,5) を選び, 小さい順に a1,a2,......, α5 を対応させればよい。 求める個数は組合せ C5 に一致する。 指針 (1) a1, A2, '....', as はすべて異なるから, 1, 2, ……, 8の8個の数字から異なる5 て5個を選び,小さい順に a1,a2,…… α5 を対応させればよい。 → 求める個数は重複組合せ 4H 5 に一致する。 (2) (1) とは違って, 条件の式に を含むから, 0, 1, 2,3の4個の数字から重複を許し !! (3) おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+a2+ax+a+α5)=bとおくとa+a2+ax+a+as+b=3 また, a1+a2+as+a+as≦3から 6≥0 よって、 基本例題 34 (1) と同様にして求められる。 解答 (1) 1, 2, ………,8の8個の数字から異なる5個を選び, 小さい 順に α1,a2,.., α5 とすると, 条件を満たす組が1つ決ま る。 よって, 求める組の個数は 8C5=gC3=56 (個) (2) 0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小 さい順に α1, a2, ・・・・・・, as とすると, 条件を満たす組が1つ 決まる。 よって, 求める組の個数は H5=4+5-1C5=8C5=56 (個) (3) 3-(a1+a2+a3+ax+as)=6とおくと a1+a2+ax+a+as+b=3, 1 ai≧0 (i=1,2,3,4,5), b≧0 よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の組の 個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取る重複組 合せの総数に等しく 6H3=6+3-1C3=gC3=56(個) …….... 別解 a1+a2+ax+a+as=k(k=0, 1,2,3) を満たす0以 上の整数の組(a1,a2,a3, a4, a5 の数は 5H であるから sHo+sHｭ+sH2+5H3=4Co+5C1+6C2+C3 =1+5+15+35=56 (個) |〇|〇〇|| 場合 (0, 1, 0, 2,0)を表すと 考える。このとき, 検討 (2),(3)は次のよ うにして解くこともできる。 (2) [p.348 検討の方法の利 用] bi=aiti(i=1,2,1 4,5)とすると,条件は 0<bｪ<b2<b<ba<b<9 と同値になる。よって (1) の結果から 56個 (3)3個の○と5個の仕切り を並べ,例えば, A|B|C|D|E|F とすると, A, B,C, D. E の部分に入る○の数を れぞれ a1, a2, 3, とすれば組が1つ決まるか ら 8C3=56 (1) 場合の数・ 場合 によるの 代表的な • (a+b) ・2700= 5桁の整数nにおいて,万の位, 千の位, 百の位、十の位, 一の位の数字をそれぞ 練習 35 na,b,c,d,eとするとき,次の条件を満たすnは何個あるか。 (1) a>b>c>d>e (2) a≥b≥c≥dze (3) a+b+c+dte≦6 10人な ・10人を (ア)特 (イ)牛 10人 ・異な 10人 3本 ・正n ・10月 ・10、 • a 3 ･3種 ・x+ (ア) (イ) 組分に ・15 ・15 ・15 ・15 15 ・1 6 }

【重複組合せ】(1) 少なくとも1個の球が入る必要があるので、まず最初にABCにそれぞれ1個球を入れて、残った2個は各3通りあるので2^3＝8(通り)としたのですが、どこら辺が間違えていますでしょうか？ 教えてください。よろしくお願いします。

PJ 113 重複組合せ 区別のつかない球5個をA,B,C 3つの箱に入れる. (1) どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか、 (2) 1個も入っていない箱があってもよいとすれば、何通りの方 法があるか. 1万円札が5枚あるとき (これらは区別がつきません) どの1万円 札がほしいという人はいません。 何枚ほしいというはずです. だか ら,区別がつかない球のときは個数で考えます。 A,B,Cの箱に,それぞれ個, y個,2個入るとすると, (1), (2)は,それ ぞれ,次の方程式の解 (x, y, z) の組の数を求めることと同じになります。 (1) x+y+z=5 (x≥1, y≥1, z≥1) 精講