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2 ーー
75
例題
ドー = 3 が無理数であることの証明 @④@⑨④〇〇
本 る。 が3 の倍
提多と 抽 許数ならば、 な ・
ある れを利用して、 3 が無理数であるこ neri ーー
ー 基本 42
asr 人ぁ過ororron
Pa 背理法
数) 仮定して和子馬は このとき、ソきーァ (ァは有理
こうとすると,『「ア3 =ニァ の両辺を 2 乗して, 3ニゲ」とな
り, ここっG発
先に進めなくなってしまう。そこで。 自然数 g。5 を用いて 73ニち
(既約分数) と表されると仮定して 矛盾 を導く。……器 も
【p陳。
手理数でないと仮定ずる。
1
理
と
人
と き 5
このとき" 3 はある有理数に等しいから, 1 以外に正の公約数 の計仙5 でまる9
をもたない 2 つの自然数 <。 6 を用 な6 約分して、gとらに1以
用いて, 3 一訪 と表される。 | 外の公約数がない分和
ゆえに oニ35 [im 2 つの整数c, 6 の最
大公約数が 1 であるとき,
リを 2 乗すると のーー307 ……
oと5ちは 互いに素 である
て, ど は3の倍信2 という (重学A参照)
し が 3 の倍数ならば, 6 も 3 の倍数であるから, んを自然数と | で 下線部分の命題が真で
して og三3を と表される。 あることの証明には芝
これを ① に代入ずると 個を利用する。 /
クウククの
3 oe30 |まけなわち「、 ぴー=3天
ようるで馬28 は 3 の倍数であるから, ヵも 3 の倍数であるs
妹倫<
刊用して2
ゆえに, のとの は公約数 3 をもつ。
これは, のとのが軸 以外に正の公約数をもたないこ とに双盾する。
したがって, は無理数である。
NFoRMATION 坦
| 例題で真であるとした師
| ぁる。また, 命題『が が偶数 (数)
| も真 である。 これらの命題が真であるこ
われるので, 覚えをでおこう。
ュ 3 の倍数である の 逆も真で
である」 および, この人逆
ある という吾実はよく使
題「がが3 の倍数ならば, 7
ならば, 7 は偶数 (樹数)
と, および逆も真で
7 の悟数である1 は上真である。
2が7 の倍数ならば, は
とを証明せま。
命題「ヵは整数とする。 7
れを利用して, /7 が無理数であるこ
