例題 70
おき換えによる最大 最小S者の
(1) y=x*+2x°+3 の最小値を求めよ。
(2) y=(x°-2x)?+6(x°-2.x)+5 の最小値を次の手順で求めよ.
(ア)t=x°-2x とおいて, tのとりうる値の範囲を求めよ!
(イ) yをtの式で表すことにより,yの最小値と,そのときのxの
値を求めよ。
考え方 yはxの4次関数であるが,おき換えをすることによって,2 次関数に帰着できる。
おき換えたらその文字の変域に注意する。
解答(1)t=x?とおくと,
t20
|y4
(実数)20
ソ=+2t+3=(t+1)?+2
グラフは下に凸で, 軸は直線 t==-1
t20 より,t=0 のとき,yは
最小値3をとる.
このとき、
よって,
(2)(ア)t=x°ー2.x
=(x-1)?-1
より,グラフは右の図のよ
うになる。
よって,そのとりうる値
yはtについての2
3最小
次関数となるので,
横軸にt, 縦軸にy
-1o 軸は定義域の左側
2
『ント
同様
x=0
最小値3(x=0 のとき)
xの値を求めておく.
tA
tはxについての2
次関数となるので,
横軸にx, 縦軸にt
人外ト
0
x
(s
S) +の範囲は,
て 70日の2-1
Sx 04+8-
与えられた関数で t=x°-2x
とすると,
ソ=?+6t+5
5
| S 0
最小
また、 2ー=(+3)-4
(ア)より,t2-1 であるから,
この範囲で, ①のグラフをかく
のる と、右の図のようになり,
……① に3-1/
0t
(ア)で求めたtの値の
範囲で考える。
yはtについての2
次関数となるので,
横軸にt,縦軸にy
-4
=-1 のとき, yは最小値0をとる。
x-2x=-1
x2-2x+1=0
また,t=-1 のとき,
(x-1)?=0 より,"x=1 S
よって,
yの最小値0(r=1 のとき)「
Focus
おき換えた文字の変域に注意せよ
