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21
3n² + 174n+ 231
f(n)=
n2+3n+2
が整数となるような自然数nをすべて求めよ。
( 上智大 改 )
« ReAction (分子の次数)≧(分母の次数) の分数式は,除法で分子の次数を下げよ 例題 17
165n+225
整数
(1)
21日
(2)
L
(3)
f(n) =3+
が整数
(n+1)(n+2)
候補を絞り込む
53-
C
[AはCの約数
が整数
ともに満たすnの値を求める。
AB
BはCの約数
このnに対して必ずしも
が整数になるとは限らないから,
f(n) に代入して確かめる。
16
4×8
16
のときは16の約数で8は16の約数だが
(整数でない)
4×8
165n+225
165n+225
f(n)=3+
=3+
n² + 3n+2
(n+1)(n+2)
よって,f(n) が整数となるとき
165n+225
(n+1)(n+2)
まず f (n) を帯分数式化
する。
も整数と
なる。
このとき,n+1は165m +225の約数であるから
3
n²+3n+2) 3n² + 174n+231
3m² + + 6
165n+225
大学
思考プロセス
→ 165n+225=k (n+1) (kは整数) とおくと
kn+k-165n=225 より
(k-165)(n+1) = 60
nは自然数より,n+1は2以上の自然数であるから
n+1=2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60
よって
+(k-165)(n+1)
n=1,2,3,4,5, 9, 11, 14, 19, 29, 59 ①
また,n+2は165 +225 の約数であるから81)=(3+3
+dp
=225-165
+1は60の約数である。
(な
である
そのとり
In+2l-165n= 225 より (Z-165)(n+2) = -105+d(8(Z-165)(n+2)り込む。
165n+225= l(n+2) (Iは整数) とおくと
+2は3以上の自然数であるから
n+2=3,5,7, 15, 21, 35, 105
01-=(814
=225-330
n+2は105の約数である。
よって n=1, 3, 5, 13, 19, 33, 103 ...S
①,②をともに満たすnは
逆に
n=1,3,5,19
f(1) = 68, f(3) = 39, f(5) = 28, f(19)=11日①,②をともに満たす
したがって
n=1, 3, 5, 19
について, f (n) が整数
となるか確認する。
生
