多の性質
i 284 三角形の重心·内心
「AABCの内部に点Pがある. AP, BP, CP と対辺 A
との交点をそれぞれ D, E, Fとする。 回ぶ5
(1) EF と AP との交点をQとする、点Pが△ABC 六J/
Check
3Rの(1)**
例題
A
の重心のとき, DP: PQ を求めよ。
aE
(2) AD=l, BE=m, CF=n とし, △ABCの内
接円の半径をrとする.点Pが△ABC の垂心
B
D
1
1
e
C
1
が成り立つことを示せ。
のとき,
m
n
考え方 (1) Pは△ABCの重心より, E, FはAC, AB の中点であり,AP:PD=2:1
Yo AABCの内心をIとすると,△ABC=AIBC+△ICA+AIAB
(1) 点Pが△ABCの重心のとき, E, F はそれぞれ AC, AB
の中点であるから,中点連結定理より,
よって,
点Pが△ABC の重心より,
したがって,
(2) △ABCの内心をIとする.
△ABC=AIBC+△ICA+△IAB
FE/BC
ABPDのAEPQ
BP:PE=2:1
MAME
F
Q
E
DP:PQ=BP:PE=2:1
B
D
=×BC×ァ+ラ ァ+ラ×ABXr A
IMEA
1
-×CA>
2
1
-(BC+CA+AB)r ]
=
2
HTCV' HIA
FA
E
△ABC=S とおいて整理すると,
1_ BC+CA+AB
2S
……0 は
r
D
4
一方,
B
-×BC×AD=-×CA×BE=-
XAB×CF
2
2S=BC×&=CA×m=AB×れ
2S
2S
よって,
BC=-
-, CA=2, AB=
e
n
m
これらを①に代入すると。
1_1/2S , 2S」 2S
2Se
1
1
テー25+
e
m
n
m
n
Dus
聖心は三角形の3本の中線の交点で, 各中線を 2:1に内分
内心は三角形の3つの内角の二等分線の交点で, 内接円の中心
