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不動数
a
a1 a2
①
①
eeeeee12
a の
(2 (3) ④
3
1
2
④
①
(2 4
3
3
1
4
2
① 3
2
④
3
(2)
1
④
① 3
4
2
3
2
4
1
4
4
1
233
3
3
4
1
2
③
2
3
4
2
1
③
④
4
1
2
3
22
1 4
3
4
1
(3
2
3
1
④
4
(2
1
3
2
3
4
1
4
②
(3
1
2
4
1
3
4
3
1
2
2
4
(3)
1
4
3
2
1
よって,
S(4.0)=9, S(4, 1) =8, S(4, 2) =6,
S(4, 3) = 0, S(4, 4)=1.
(3) う個以上の不動数の中から, j個を選んで印
をつけることを考え,それを 「特別な不動数」
と呼ぶことにする.
う個の 「特別な不動数」を含むう個以上の「不
動数」 があるような並べ方を次の (i), (i) の2通
りの方法で考える.
(i) まず、n個の数の中からう個の「特別な不
動数」を決め,次に残りのn-j個の数を並
べる.
この並べ方の総数は
m
nCj・(n-j)!通り.
...①
(i)k=j,i+1, ..., n に対して,「不動数」 が
ちょうどん個ある並べ方を考え,k個の 「不
「動数」の中からう個の 「特別な不動数」 を決
める.
まずんをう≦k≦nで固定する.
n個の数を,「不動数」 がちょうどん個
あるように並べる (S(n, k) 通り).
そのそれぞれに対して,上のん個の「不
動数」からう個の 「特別な不動数」 を選ぶ
(kCj 通り).
よって、n個の数を, 「不動数」 がちょうど
個あるように並べ、 そのうちう個を「特別
な不動数」と決める場合の数は
S(n,k)kC; 通り.
個の 「特別な不動数」 を含むう個以上の
「不動数」をもつ並べ方の総数は, ②にk=j,
j+1,…, n を代入して足し合わせたもので
あるから,
S(n. k). *C, ).
...③
(なお,kの値が異なれば, 「不動数」の個数
が異なるため③の中に重複はない.)
(i)(i) のそれぞれの方法で得られた並べ方の
総数は等しいから ① ③より,
C, (n-i)!=S(n. k). C,
k=j
が成り立つ。
(4) (1) のんに置き換えると,
k=k+3k(k-1)+k(k-1)
(k-2)
となるから,
k³.S(n. k)
=(k+3k(k-1)+k(k-1)(k-2)}・S(n,k)
k=1
=k.S(n,k)+3k(k-1)・S(n.k)
k=1
+k(k-1)(k-2) S(n, k). (#)
ここで, (3) の等式より, j=1のとき,
CS(n, k)=C.(n-1)!.
k.S(n, k)=n!.
k=1
j=2のとき,
k=2
C₂ S(n. k)=C2(n-2)!.
Σk(k-1). S(n, k) = n(n−1).(n−2)!.
k=2 2!
k(k-1)・S(nk)=n!.
j=3のとき,
k =3
C3 S(n, k)=C3 (n-3)!.
k=3
kk-1)(k-2). S(n, k)
3!
n(n-1)(n-2)
3!
(1)
(n-3)!.
Žk(k−1)(k−2). S(n, k)=n!. ···⑥
k=3
(#) ④ ⑤ ⑥ より
解説
②k.S(n.k)=n!+3•n!+n!
① (3)の考え方について
=5n!.
解答 (3) を次のような「箱」と「球」
を用いて解説する.
1からnまでの番号が書かれた白球と1か
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