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323
を求めよ。
とき、定数 α.
198
203、
e=a を代入す
。
の求め方
重要 例
例題
201(x-α) で割ったときの余り(微分利用)
xについての多項式f(x) を (x-α)2で割ったときの余りを, a, f(a), f' (a) を
用いて表せ。
指針
多項式の割り算の問題では,次の等式を利用する。
A = B × Q+ R
割られる式割式余り
[早稲田大 ]
/p.321 参考事項, 重要 57
2次式(x-α)で割ったときの余りは1次式または定数であるから
f(x)=(x-a)2Q(x)+px+g [Q(x)は商,pg は定数]
が成り立つ。この両辺をxで微分して,商Q(x) が関係する部分の式が0となるよ
うな値を代入すると,余りが求められる。
f(x) を (x-α)2で割ったときの商をQ(x) とし, 余りを
f(x)=(x-a)(x)+px+q ①
両辺を xで微分すると
解答 x+g とすると,次の等式が成り立つ。
f(x)={(x-a)2Q(x)+(xa)2Q(x)+p
=2(x-a)Q(x)+(x-a)'Q'(x)+p
①②の両辺にx=a を代入すると,それぞれ
f(a)=pa+g
③, f'(a)=p...
p=f'(a)
1)に従って求
を求めて
る。
例題 200 ( 1 )
■方が早い。
④から
ならS
よって,③ から
■+h)-f(-2)
したがって, 求める余りは
-f(-2)
-(-2)
h
...... ②②
④
q=f(a)-pa=f(a)-af'(a)
xf' (a)+f(a)-af' (a)
(1+01)
余りの次数は,割る式
の次数より低い。
{f(x)g(x)}'
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
{ (ax+b)"}
=n(ax+b)"' (ax+b)'
(p.321 参照。)
(x)の定
$1
(x-α) で割り切れるための条件
f(x)が (x-α) で割り切れることは,上で求めた余り xf (a)+f(a)-af' (a) が恒等的に 0
になる、ということである。 (am) 1000= (a+01)
xf (a)+f(a)-af' (a) =0がxについての恒等式となるための条件は
f'(a) = 0 かつ f(a
f(a)=f'(a)=0
これより,f(a)=f(a) = 0 が得られる。 よって、 次のことが成り立つ。
多項式f(x) (x-α)' で割り切れるための必要十分条件は
9355
大阪工大)
6
章
34
3 微分係数と導関数
このとき, 方程式f(x)=0は(x-a)2Q(x)=0の形になる。
したがって、この条件は、方程式(x) = 0 がx=αを重解にもつ条件であるともいえる。
xについての多項式f(x)について,f(3) =2, f'(3) =1であるとき,f(x) を
SOS
201 (x-3)で割ったときの余りを求めよ。((財)
p.326 EX128(2)、
す。
-1)=0で
神奈川大]
EX128 (1)
